牧场式教学
《小学高段学生感悟“数形结合”思想的案例研究》--论文卷 |
[ 信息发布:本站 | 发布时间:2016-06-05 | 浏览:208次 ] |
研究附件一（论文卷） 目 录 一、研究构架 二、高段“数学结合”课目 三、自研梳理 1.什么是“数形结合”？ 2.“数形结合”的理论依据是什么？ 3.什么是“案例”？ 4.“数形结合”如何界定？ 四、下水实践 5.研究成果（论文汇集）（包含发表或获奖的论文） 6.发表的论文复印件
《小学高段学生感悟“数形结合”思想的案例研究》 研 究 构 架
◆研究思路：大框架、大思路、小问题、小流程。 ◆研究策略：前期：隐形调研（先听课---再问卷—比对—发现问题、提出问题） 后期：显性研究（上课—反思—上课---比对---分析问题、解决问题） ◆研究指向：1.为什么要感悟？2.怎样感悟？3.感悟到了什么？ ●大框架、大思路即研究分三个阶段：准备阶段—实施阶段---总结阶段 ●小问题、小流程即研究的十个着力点： 自研---摘录—搜集—验证—比对—分析---优化—群研---定位—结题 1．自研（概念感知）： 什么是“数形结合”？理论依据？什么是“案例”？如何界定？（网上学习，积累资料） 2.摘录（知识梳理）： “数形结合”课目及教学内容。 3.搜集（整体感知）： “数形结合”不同的教学设计（按ABC三个层次依次整理），甄别简析。 4.验证（下水实践）： 一课三上（据上设计） 5.比对（岸上思考1）： 教后反思（侧重教师的教） 6.分析（岸上思考2）： 教学环节及设计片段数据分析（侧重学生的学）（表格或统计图表） 7.优化（寻找高地）： 名师示范课（视频或现场观摩---名师之路等） 8.群研（去伪存真）： 研讨沙龙123（六年级 五年级 三四年级） 9.定位（自我建构）： 个人示范课 10.结题（理性回归）： 先各自为阵 再统一归纳 有关“数形结合”课目 （北师大版五年级上册）
第一单元 小数除法 第7页 《谁打电话的时间长》
第三单元 倍数与因数 第31页 《倍数与因数》 第37页 《找因数》 第39页 《找质数》 第四单元 多边形的面积 第49页《 比较图形的面积》 第53页《平行四边形面积》 第56页《三角形面积》 第59页《梯形面积》 第五单元 分数的意义 第63页 《分数的再认识（一）》 第67页 《分饼》 第72页《分数的基本性质》 第79页《约分》 第六单元 组合图形面积 第88页 《组合图形的面积》
有关“数形结合”课目 （北师大版五年级下册） 第一单元 分数加减法 第2页 《折纸》 第5页《星期日的安排》 第7页《“分数王国”与“小数王国”》 第二单元 长方体（一） 第16页《长方体的表面积》 第三单元 分数乘法 第22页《分数乘法（一）》 第25页《分数乘法（二）》 第28页《分数乘法（三）》 第四单元 长方体（二） 第41页《长方体的体积》 第44页《体积单位换算》 第五单元 分数除法 第55页《分数除法（一）》 第57页《分数除法（二）》 第八单元 数据的表示和分析 第82页《复式条形统计图》 第84页《复式折线统计图》
有关“数形结合”课目 （北师大版六年级上册）
第一单元 圆 第14页 圆的面积（一） 第16页 圆的面积（二） 第二单元 分数混合运算 第21页 分数混合运算（一） 第24页 分数混合运算（二） 第27页 分数混合运算（三） 第四单元 百分数 第44页 营养含量 第46页 这月我当家 第六单元 比的认识 第69页 生活中的比 第85页 比赛场次 第七单元 百分数的应用 第87页 百分数的应用（一） 第90页 百分数的应用（二） 第93页 百分数的应用（三）
有关“数形结合”课目 （北师大版六年级下册） 第一单元 圆柱与圆锥 第5页 圆柱的表面积 第8页 圆柱的体积 第二单元 比例 第21页比例尺 第24页 图形的放大和缩小 第四单元 正比例与反比例 第39页变化的量 第41页 正比例 第46页 反比例 第56页可爱的小猫
什么是“数形结合”？ 赵科利： “数”和“形”是数学知识表现的两种形式，“数”准确而抽象、“形”形象而粗略，各有所长。而数形结合是一种极富数学特点的信息转换方式，这种转换不仅有助于数学的多样化表现，也有利于儿童更好地认识数学——用数量的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数量的抽象性质，这正是数形结合的本质所在。 “数”和“形”它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，化难为易，化抽象为直观．使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。 尚亚红: 数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题生活化的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解。 杜丽丽: 我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。 罗晓梅: 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。 邵玲玲: 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。数形结合是连接“数”与“形”的“桥”，它不仅作为一种解题方法，还是一种重要的数学思想。 黄应妮： 数形结合简而言之就是把数学中"数"和数学中"形"结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过"数"与"形"之间的对应和转换来解决数学问题。数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的学习方法。在教学中那些让学生觉得难以理解的或是容易出现错误和混淆的内容，教师可以充分利用“形”，把抽象的概念、复杂的运算变得直观、形象，丰富学生的表象，引发联想，引导学生探索规律，得出结论。 上官海霞: 数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。 赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,而要教会学生思考,实质是要教会学生掌握数学的思想方法。常用的数学思想方法有很多,而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点,是解决许多数学问题的有效思想。将抽象的数量关系形象化，具有直观性强，易理解、易接受的特点。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。 张丽: 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。 翟雅清: 数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。另外，数形结合思想在关于几何图形的问题中，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。 在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。 尚文菲: 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，数形结合可谓珠联璧合。 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和几何形式巧妙、和谐的结合起来，并充分利用这种“结合”，寻求解题思路，使问题得以解决.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思。； “数形结合”的理论依据是什么？ 赵科利： 数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位。从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力。 数形结合在小学数学教学中具有得天独厚的优势。首先，小学数学教材的编写将“数与代数”、“空间与图形”等各领域内容交替呈现，没有明确的知识鸿沟，这为数、形互补提供了良好的条件。第二，小学阶段是“数”、“形”思想形成的初期，“算术”、“几何”尚未形成明确界限，解决问题时，数与形的连结会更自然和谐。其三，小学生形象思维占主导地位，逻辑思维能力又需要着力培养，数形结合不仅能扬其长，并能补其短。 杜丽丽： 新课标的修订，从原来的“双基”拓展到“四基”，即增加了基本思想、基本活动经验。知识和技能是数学的“双基”，而数学思想方法则是数学的灵魂。“数”和“形”是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的。而数和形的关系正如我国著名的数学家华罗庚所写的诗一样：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。” 数形结合在小学数学教学中符合小学数学教材的编排特点，小学数学教材的编写将“数与代数”、“空间与图形”等各领域内容交替呈现于各册章节，没有明确的知识界限，这为数、形互补提供了良好的条件。第二，小学阶段是“数”、“形”思想形成的初期，“代数”、“几何”还没有形成明确界限，解决问题时，数与形的连结会更自然和谐。例如在分数小数的认识、和倍差倍问题、行程问题等等，我们常用画线段图的方法来解答，这是用图形来代替数或数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。其三，心理学研究表明，儿童接受具体性文字中的信息比学习抽象性文字中的信息容易得多，其原因是由于具体名词能产生心理映像，而儿童利用形象的“形”式学习比用纯文字推演更有兴趣、更容易理解，比如在教学分数的初步认识时，通过对实物或图形的等份切分、折、画，将出自然数以外的另一种数的形式很自然的理解接受并掌握。但另一方面，用数学符号和专用术语呈现的数学，由于其严谨、清晰、简约、深刻，更体现着数学学科在培养儿童的科学精神中的真正优势。小学生形象思维占主导地位，逻辑思维能力又需要着力培养，数形结合不仅能扬其长，并能补其短。 尚亚红： 小学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 罗晓梅： 数与形是数学研究的主要对象，近年来，作为解决数学问题的一种思想方法而广泛引起广大数学教育工作者的重视。作为数学教材，为了体现这一数学的本质特征和重要的思想方法，新课改后的数学教材在这方面大大的迈进了一步。它不但从形式上把代数、几何统一编排，而且在内容的处理上也提出明确的要求。在几何内容的处理上，把对问题的图形表示、符号表示、文字表示联系起来，形成整体认识，使学生能正确运用所学概念和定理、公式等进行合理的论证与计算。这样，数与形被自然地结合在一起，使它不但成为解决数学问题的方法，而且作为一种数学思想溶于数学教学之中。以“形”的直观启迪思路，导致发现；以“数”的严谨表述来论证发现的正确，从而，新教材把数学教学引导到一个更高的境界。 小学生的思维特点是：从以具体形象思维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式过渡。小学低年级学生的思维虽然有了抽象的成分，但仍然是以具体形象思维为主。比如，他们所掌握的概念大部分是具体的、可以直接感知的，他们难以区分概念的本质和非本质属性，而中高年级小学生则能区分概念的本质和非本质属性，能掌握一些抽象概念，能运用概念、判断，、推理进行思考。小学生的思维由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡存在着一个转折期，一般出现在四年级。三四年级以后，有意识的培养孩子的思维能力，更快提高思维水平，这种抽象思维带有很强的具体形象性，这就运用到数形结合。 数学语言是比较抽象的，如果将数学语言转化为几何图形，则研究对象变得形象、生动、具体，将数学语言转化为几何图形，我们称之为数形结合，数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。让学生树立数形结合思想的观点，扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思维工具。 张丽： 数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想，是解决许多数学问题的有效思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。 小学数学；数形结合；渗透 数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想，是解决许多数学问题的有效思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微”。 邵玲玲： 我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本是相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉， 形少数难入微， 数形结合百般好，隔裂分家万事休，切莫忘,几何代数统一体,永远联系切莫分离。” 寥寥数语，把“数形结合”之妙说得淋漓尽致。长期以来，在教学中数学知识是一条明线，得到数学教师的重视；数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，则使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习中。 黄应妮： 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图 形结合起来解决问题的思想方法。数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。数形结合是一种重要的数学思想，但是在实际教学中教师也要注意不可片面的夸大数或形的作用，几 何是研究空间形式的科学，培养观察和知觉能力；代数是研究数量关系的科学，培养逻辑能力、符号运算能力的，我们要从整体上把握，使二者相辅相成，要有意识地培养学生见数思形、见形思数、数形结合的 意识。 上官海霞: 思维是人脑对客观现实间接、概括的反映，反映的是事物的本质和内在的规律性，是人类认识的高级阶段。思维实现着从现象到本质、从感性到理性的转化，使人达到对客观事物的理性认识。人们通过思维，可以更深刻地把握事物，预见事物的发展进程和结果。小学生的思维是其智力的核心部分，小学生思维的发展，是其智力发展的标志和缩影。发展小学生的智力，主要应培养和训练他们的思维能力。 小学生的思维特点是：由形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡，但这种抽象逻辑思维仍带有很强的具体形象性。尽管孩子的抽象思维在逐步发展，但是仍然具有很大成分的具体形象性.。因此，把比较抽象的几何定理与代数公式硬塞给小学生，一般说来，不易被接受。然而，从小学三、四年级以后，有意识地培养孩子的思维能力，更快地提高他们的思维水平却是可能的。 数学是一门逻辑性、系统性很强的学科,前面知识的学习,往往是后面有关知识的孕伏和基础,在新旧知识的联系上是非常紧密的。长期以来，由于人们忽视了形象思维在教学过程中的作用，使学科知识的理解过程脱离了学科思维方式的特点，使知识难以理解。为了培养更聪明和富有创造力的新一代，在教学中，不可忽视对学生的形象思维与逻辑思维的共同开发。 翟雅清： 《数学课程标准》在总体目标中明确提出“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”这一总体目标贯穿于小学和初中，这充分说明了数学思想方法的重要性。标准中还指出“数学知识与技能是数学学习的基础，而数学思想方法则是数学的灵魂和精髓。”在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后续学习，对其他学科的学习，乃至对学生的终生发展都具有十分重要的意义。 “数形结合”思想有着悠久的历史，数形结合是我国传统数学的思想方法之一，在数学教学史中具有举足轻重的地位。而在现实世界中，数与形紧密地结合在一起，这是直观与抽象相结合，感知与思维相结合的体现。数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是学生加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不得解决的问题，如尺规作图“三大不能”问题等，最终也是借助于代数方法得到圆满解决。 这些都说明了“数形结合”思想有着悠久的历史。在小学数学教学中，我们虽还用不到这种高深的数学知识，却也在低年级“数的认识”中就接触到了数形结合这个思想。以形助数——借助形的生动和直观来阐明数与数之间的联系，以形为手段，数为目的，比如：运用同数相加的图像来直观地说明乘法的意义。以数助形——借助数的简洁性和概括性来提炼事物（图形）的本质，以数为手段，形为目的，比如：一个特定的数字可以代表任何达到这个数量的事物。（3可以代表达到3这个数量的苹果、衣服、车子……） 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来，挖掘和利用概念中的直观成分，充分利用这种结合，寻找解题思路，就能有效降低教学难度，使问题化难为易，化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。” 尚文菲： 数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。 赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,而要教会学生思考,实质是要教会学生掌握数学的思想方法。常用的数学思想方法有很多,而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点,是解决许多数学问题的有效思想。将抽象的数量关系形象化，具有直观性强，易理解、易接受的特点。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。 什么是“案例”? 尚亚红: 案例是对现实生活中某一具体现象的客观描述，教育案例是对教育活动中具有典型意义的，能够反映教育某些内在规律或某些教学思想、原理的具体教学事件的描述、总结分析，它通常是课堂内真实的故事，教学实践中遇到的困惑的真实记录。
关于案例含义的基本观点： 杜丽丽: 利用“集合图”理解概念之间的关系是渗透数学的思想方法吗？ 数学概念是数学大厦的基石，数学概念之间有着千丝万缕的联系，建构数学概念之间的联系即画“概念图”是学习数学的重要方法。例如，有的老师在整理“因数与倍数”这个单元时，画了如下的“集合图”来帮助区分、理解概念之间的关系，同时老师也强调说这是渗透“数形结合”思想 同样地，这仍不是数学意义上的“数形结合”思想。与此类似的案例还有很多，既然这些不应该看作数形结合思想，那什么是数形结合思想？小学数学教学中能渗透数学结合思想吗？ 例如解决下面的问题时，对比线段图则易于理解算式中的每一符号的意义。 张老师要买一个打印机，王老师要买一件毛衣。打印机：800元/台。毛 衣：200元/件。商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱？ 方法一：多数同学的解题方法： 分购买所花的钱数：（800-500）×80%+500+200=940（元） 合着购买所花的钱数：（800+200-500）×80%+500=900（元） 合买比分买省的钱数：940-900=40（元） 方法二：一名学生的解题方法： 200×(1-80%)=40(元) 当时很多同学不理解第二种算法，于是教师请这名学生进一步解释。 生：合着买与分着买别的地方都没有变，区别只是少花了一个200元的(1-80%)，所以可以直接用200×(1-80%)=40(元)来进行计算。 这名学生解释完后，大多数学生仍然很茫然，没有理解方法二的道理。但是当教师引导学生借助线段图，以形助数，用线段图对比呈现两种方法的所蕴涵的数量关系，学生就能很好地理解每一种方法的道理。通过画线段图就使抽象复杂的数量关系变简单明了，将抽象的数学问题直观化： 借助线段图，变“看不见”为“看得见”，学生便能清晰直观地看到合买合分买的区别，从图中直观地看出真正省的其实就是200元的20％，所以是40元。将复杂的解题过程化繁为简，不但能很好地帮助理清数量之间的关系，还能进一步明确和拓宽解题思路。 又如，有的问题文字上比较“拗口”，问题解决者的头脑中不易理清数量关系，但是将文字上的数量关系转化为线段图表示时，数量关系就一目了然。 十一快到了，妈妈买了2千克的苹果和5千克的梨，共用去10.8元。已知买2千克梨的钱可以买1千克苹果，每千克苹果、梨各多少元？ （三）借助于“面积模型”理解分数及运算：“数”与“形”的再一次结合 我们曾经介绍过借助于“面积模型”和“集合模型”来理解分数的意义（参见《小学教学（数学版）》2007年第10期），实际上就是将分数与图形结合起来，在学习“异分母分数加减法”时，仍可运用数与形的结合。例如，在讲异分母分数加减法时，例如+，学生如何理解异分母分数加减法为什么要通分？我们曾经这样处理： 但有很多学生仍不理解。我们又借助于几何画板软件将上述“理性”的抽象思维过程形象化、视觉化，即教师充分利用分数的直观图，将数与形结合起来，引导学生体会只有平均分得的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能相加、减的道理，直观地理解“通分”的必要性及异分母分数加减法的算理。 利用数形结合的方法，学生表象清晰，记忆深刻，对算理的理解透彻，既知其然又知其所以然。事实上也是形象思维与抽象思维协同应用的一种过程，其教学效果显而易见。 罗晓梅: 案例，就是人们在生产生活当中所经历的典型的富有多种意义的事件陈述。它是人们所经历的故事当中的有意截取。案例一般包括三大要素。案例对于人们的学习，研究，生活借鉴等具有重要意义。基于案例的教学是通过案例向人们传递有针对性的教育意义的有效载体。因此，人们常常把案例作为一种工具进行说服，进行思考，进行教育。故案例在人们的研究中形成了一定的书写格式，标准样式，为人们更好的适应案例情景提供很多方便。 案例是一个实际情境的描述，包括有一个或多个疑难问题，同时也可能包含有解决这些问题的方法。教学案例描述的是教学实践,是教师在教学过程中,对教学的重点、难点、偶发事件、有意义的、典型的教学事例处理的过程、方法和具体的教学行为与艺术的记叙,以及对该个案记录的剖析、反思、总结.案例不仅记叙教学行为,还记录伴随行为而产生的思想,情感及灵感,反映教师在教学活动中遇到的问题、矛盾、困惑,以及由此而产生的想法、思路、对策等.它既有具体的情节,真实感人,又从教育理论、教学方法、教学艺术的高度进行归纳、总结,悟出其中的育人真谛,予人以启迪.可以说,教学案例就是关于某个具体教学情景的故事,既有故事发生背景,又有故事发展情节.在叙述这个故事的同时,常常还发表一些自己的看法——点评.所以,一个好的案例,就是一个生动、真实的故事加上精彩的点评. 案例可用于教学、研究、个人自我反思的场合。由于用途不同，使用主体不同，因而其体例、格式、侧重点也常常不同。有研究者从案例研究的角度将案例分为：描述性案例、说明性案例、证实性案例、探索性案例。 尚文菲: 案例是一个实际情境的描述，包括有一个或多个疑难问题，同时也可能包含有解决这些问题的方法。（中国人民大学网络教育学院《浅谈案例教学》） 教学案例描述的是教学实践。它以丰富的叙述形式，向人们展示了一些包含有教师和学生的典型行为、思想、情感在内的故事。 一个案例就是一个包含有疑难问题的实际情境的描述，是一个教育实践过程中的故事，描述的是教学过程中“意料之外，情理之中的事”。 教育案例是一个教育情境的故事。在叙述一个故事的同时，人们常常还发表一些自己的看法，也就是点评。所以，一个好的案例，就是一个生动的故事加上精彩的点评。 张丽: 案例，就是人们在生产生活当中所经历的典型的富有多种意义的事件陈述。它是人们所经历的故事当中的有意截取。案例一般包括三大要素。案例对于人们的学习，研究，生活借鉴等具有重要意义。基于案例的教学是通过案例向人们传递有针对性的教育意义的有效载体。因此，人们常常把案例作为一种工具进行说服，进行思考，进行教育。故案例在人们的研究中形成了一定的书写格式，标准样式，为人们更好的适应案例情景提供很多方便。 案例是一个实际情境的描述，包括有一个或多个疑难问题，同时也可能包含有解决这些问题的方法。 教学案例描述的是教学实践,是教师在教学过程中,对教学的重点、难点、偶发事件、有意义的、典型的教学事例处理的过程、方法和具体的教学行为与艺术的记叙,以及对该个案记录的剖析、反思、总结.案例不仅记叙教学行为,还记录伴随行为而产生的思想,情感及灵感,反映教师在教学活动中遇到的问题、矛盾、困惑,以及由此而产生的想法、思路、对策等.它既有具体的情节,真实感人,又从教育理论、教学方法、教学艺术的高度进行归纳、总结,悟出其中的育人真谛,予人以启迪.可以说,教学案例就是关于某个具体教学情景的故事,既有故事发生背景,又有故事发展情节.在叙述这个故事的同时,常常还发表一些自己的看法——点评.所以,一个好的案例,就是一个生动、真实的故事加上精彩的点评. 案例可用于教学、研究、个人自我反思的场合。由于用途不同，使用主体不同，因而其体例、格式、侧重点也常常不同。有研究者从案例研究的角度将案例分为：描述性案例、说明性案例、证实性案例、探索性案例。 邵玲玲： 数形结合：“数”和“形”是数学中两个最基本的概念,“数”,属于数学抽象思维范畴,是人的左脑思维的产物；而“形”主要指几何图形,属于形象思维范畴,是人的右脑思维的产物.它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,化难为易,化抽象为直观．使人充分运用左、右脑的思维功能,相互依存、彼此激发,全面、协调、深入发展人的思维能力.数形结合思想：所谓数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。 上官海霞: 什么是案例呢？一般来说，案例是指对现实生活中某个事件的真实记录和客观的叙述。教学案例是真实而又典型且含有问题的事件。简单地说，一个教学案例就是一个包含有疑难问题的实际情境的描述，是一个教学实践过程中的故事，描述的是教学过程中“意料之外，情理之中的事”。这可以从以下几个层次来理解：1、教学案例是事件：教学案例是对教学过程中的一个实际情境的描述。它讲述的是一个故事，叙述的是这个教学故事的产生、发展的历程，它是对教学现象的动态性的把握。 2、教学案例是含有问题的事件：事件只是案例的基本素材，并不是所有的教学事件都可以成为案例。能够成为案例的事件，必须包含有问题或疑难情境在内，并且也可能包含有解决问题的方法在内。正因为这一点，案例才成为一种独特的研究成果的表现形式。 翟雅清：
众所周知，小学生的逻辑思维能力比较弱，特别是第一学段的学生更依赖于直观形象思维，而数学学科又具有较强的抽象性和逻辑性。因此，教学过程中，教师要想方设法用学生易于理解的方式呈现抽象的数学问题，比如，借助数形结合思想中的图形直观手段，就是一种非常好的教学方法和解决方案。本文试以小学数学第一学段的教学为载体，探讨如何运用数形结合思想，让学生在“画”中学，在学中悟，感悟数学思想方法的价值，体会数学的美、增强学生的数学观念和数学意识，形成良好的思维素质。
“数形结合”如何界定？ 赵科利： 数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。 数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。 尚亚红:
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。 杜丽丽: “数”和“形”是数学教学中最基本的概念，“数”，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；而“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，化难为易，化抽象为直观，使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。而在小学，学生正处于形象思维与逻辑思维并肩发展阶段，在小学数学中，特别是新教材也渗透了数形结合的思想，在小学阶段更是培养学生的“数形结合”思想的好时期。 罗晓梅: 数形结合思想是数学学习中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。 “数形结合”是数学教学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。因此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。 黄应妮： 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。 张丽: 数形结合思想是数学学习中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。 “数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。因此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效解决问题奠定良好的基础。 上官海霞: 数形结合”是中学数学中比较重要的一种思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，在数的问题与形的问题之间互相转换，使数的问题图形化，形的问题代数化，从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题，达到事半功倍的目的。而在小学，学生正处于形象思维与逻辑思维并肩发展的阶段，在小学数学中，特别是新教材也渗透了“数形结合”的思想，在小学阶段更是培养学生的“数形结合”的思想好时期。在小学数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系,帮助学生逐步树立起“数形相结合”的观点,并使这一观点扎根到学生的认知结构中去,成为运用自如的思想观念和思维工具。
翟雅清: （一）数学思想方法 数学思想是指人们在生产活动中，对所产生的数学问题进行探索和实践所形成的本质性认识与理性认识。数学方法是指在解决具体数学问题时，依据数学思想所采用的方式、途径和手段。 数学思想是宏观的，它更具普遍指导意义。数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接、具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。由于小学数学内容比较简单，知识很基础，隐藏的思想和方法很难绝然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。 （二）数形结合 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何好图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。 数形结合思想包含两点内容。其一，“数”上构“形”，即以形助数，本身是“数”方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，使问题获解。其二，“形”中觅“数”，即以数解形，解决图形问题，通过寻找形与数之间的关系，使问题获解。 研究成果（论文汇集） 浅析如何在小学数学教学中渗透数形结合的思想 陈仓区实验小学 赵科利 摘 要：“数”与“形”是贯穿整个小学数学教学始终的基本内容，也是小学阶段的一种重要的数学思想。 根据多年的经验浅谈一下在教学中有效渗透数形结合的思想。 关键词：小学数学；数形结合；实施策略 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数 学问题的有效思想。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。那么如何在教学中有效渗透数形结合的思想。 以下是一些具体的实施策略。 一、以形助数，让问题变得直观化 数的产生源于对具体物体的计数。我们不难发现从数的概念的建立到数的运算处处蕴涵着数形结合的 思想。如学习整数、分数、小数及其加、减、乘、除法的运算时，教材都是借助几何图形的直观来帮助学生理解抽象的概念。生动形象的图形使得抽象的知识变得趣味化、直观化，让学生在学习时，不再感到枯 燥乏味，反而能够使学生从中获得有趣的情感体验，让学生主动去探索，把握概念本质。例如：在学习“千以内数的认识”一课时，教师可以利用几何模型直观地将计数单位及其相互间的“十进 制关系”呈现出来。用一个立体方格表示1，10个1就是十（即十个立体方格），以此类推，将数字的认识以这种学生感兴趣的方式呈现出来，结合立方体的变化，直观地认识了计数单位“个”“十”“百”“千”，理解了 他们之间的十进制关系，这种直观的感受，比抽象的理解，更能让学生掌握概念，并在学生的头脑中留下了计数单位的直观现象，为数的大小比较、数的计算留下了初步的基础。 2、助于学习难点的化解 数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的学习方法。在教学中那些让学生觉得难以理解的或是 易出现错误和混淆的内容，教师可以充分利用“形”，把抽象的概念、复杂的运算变得直观、形象，丰富学生的表象，引发联想，引导学生探索规律，得出结论。 如：在讲解异分母分数加减法的时候，教师可以利用多媒体或是其他途径，把圆形分成几等分，让学生更易理解。例如计算：1/2+1/4=____；1/2+1/8=____；1/2+1/16=____。 （1）计算1/2+1/4（把圆分成四等份，表示出1/2与1/4），然后把1/2转化成2/4，2/4+1/4=3/4；（2）计算1/2+1/8（把圆分成八份，表示出1/8），把1/2转换成4/8，4/8+1/8=5/8； （3）计算1/2+1/16（把圆分成16份，表示出1/16），把1/2转化成8/16，组后得出8/16+1/16=9/16。 通过图形的展示，学生从形的角度体会三道题的共性，让学生更直观地发现规律。教后，教师提出思 考问题： 为什么在计算中有的把1/2转换成2/4，有的把1/2转换成4/8，有的把1/2转化成8/16呢，他们 有什么相同的地方吗？ （2）为什么要把异分母分数转化成同分母分数？通过分析，可以发现这些算式都有一个加数是1/2，另一个加数各不相同，转化的结果也不相同，学生 在“变”与“不变”的对比中，发现并掌握异分母分数加减法的共性。这个讲解的片段，教师利用了数形结合使学生体会“通分”的必要性，使学生更容易理解异分母加减法 的算法，化解了教学与学习中的难点。 3、助于数量关系的理解 在数学教学中，培养学生解决问题的能力，使学生能把复杂的问题简单化，把抽象的问题形象化，是提高学生能力的重要步骤。数形结合使抽象化的数量关系形象化，为学生实际问题的计算与算式之间、分 析数量关系与解决问题之间架起一座桥梁。 如：一个商店运进5箱热水瓶，每箱12个。每个热水瓶卖11元，一共可以卖多少元？ 分析（如图）。 这个图形是长方形，5箱热水瓶和每箱12个分别相当于长方形的宽和长，图中每个小格表示每个热水 瓶卖11元。从图中看出：方法一：先求一共有多少个热水瓶（先根据长和宽计算出一共有多少个小格），再求一共卖多少元。 算式是：11× （12×5）=660（元）。方法二：先求每箱热水瓶卖多少元，再求一共卖多少元（先按长计算，再按宽计算）。算式是：11×12×5=660（元）。 方法三： 先求5个热水瓶卖多少元， 再求一共卖多少元 （先按宽计算， 再按长计算） 。 算式是：11×5×12=660（元）。 这个例题将实际问题数学化，变“看不见”为“看得见”，直接描述了数量之间的关系，使学生更容易理解题目便于解答。 4、助于探索数学规律 数学学习过程不仅是一个接受知识、累积知识的过程，还是一个探索知识、创造知识的过程。数形结合的思维方法是儿童构建数学模型的基本方法，在数学教学中，让学生学会构建模型来直观描述数学问题， 这样不仅可以发展学生的形象思维能力，还能通过数形结合达到锻炼思维的创造性的目的。如：计算1+2+…19+18+…+2+1，就可以引导学生借助19×19的正方形图形进行观察，借助直观图形，发现规律：1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n2，这样得出的规律会使学生不易忘记，掌握的更牢固。 二、以数辅形，开拓思维 “形”具有直观形象的优势，但也有其粗略、烦琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的模型表达形的特点，才能更好地体现数学抽象化与形式的魅力，使学生更准确地把握形的特点。 比如说图形特点，对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：周长相等的正三角形、正方形、长方形和圆形哪个面积大，哪个面积小？凭直观难以判断，而通过具体计算，或通过字母 公式的推导就一目了然了。 如探究：用一根16厘米长的铁丝围一个长方形，可以围成怎样的长方形？有多少种围法？（长、宽取 整厘米数） 如何理解这道题目？（这里的16厘米就是将要围成的长方形的周长，也就是说不管怎么围，周长都是16厘米，一条长和宽的和……）。 方法一：学生可以在方格纸上将你的想法先画一画，在表一中记下每次探究的结果。 方法二：也可以直接填表。下图是其中一个学生的数据 得出：周长一定时，长方形长与宽相差越小（大），面积越大（小）；围成的正方形面积最大。 小结：知道周长要围出长方形，先确定它的长和宽；周长除得尽4的，首先想到周长除以4变成正方 形。反之，就变成长方形，使长和宽最接近。这样通过“数”的研究使得学生对周长和面积及其之间的关系有了更加理性和深入的认识，开拓了思维 的发展。 数形结合是一种重要的数学思想，但是在实际教学中教师也要注意不可片面的夸大数或形的作用，几何是研究空间形式的科学，培养观察和知觉能力；代数是研究数量关系的科学，培养逻辑能力、符号运算能力的，我们要从整体上把握，使二者相辅相成，要有意识地培养学生见数思形、见形思数、数形结合的意识。 总之，教师要做教学的有心人，深入研究教材，使数形结合思想方法的教学成为一种有意识的教学活动；要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，把数形结合思想方法教学落到实处，让数形结合的方法更好地为教学服务。
培养小学生数形结合思想，提高教学效率 陈仓区实验小学 赵科利 著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。” 一、数形结合思想在数学内容上的体现。 1）、符号化思想：体现在图形、算筹、数字、字母、公式等； 2)、方程的解集、不等式的认识、应用题求解等； 3)、图形种类、数的分类及文氏图演绎； 4)、由形到数及由数到形的转换、互通； 5)、位置与方向、数对的点与坐标的对应关系等。 数形结合符合人类认识自然，认识世界的客观规律。人自有生命以来，睁开眼第一件事，是朦胧地看到周围的混沌世界。他的眼里只有形，这时，他是不识数的。十年磨一剑，挥手三千年，人类对数的认识起源于形，发展于形，得利于形，数形结合成为学习的永远的依赖，我们就要遵循先形后数的认识规律。 二、数形结合思想的有效培养中存在的问题。 由于学生思维的发展所必须遵循的客观规律，决定了学生在数形结合的学习中必然面临着许多问题。 1、数形结合知识本身的难度。从纯知识的角度看，学生对数形结合的知识掌握和方法使用不外乎两个方面：一是根据图形转化成数。二是根据数或式转化成图形。他们对“由形及数”看图写数类题的掌握程度，远远高于“由数及形”看数作图类的题。在固定的常规思维模式下,出现顺向思维易,逆向思维难，照搬模仿易,加工创新难的一贯性问题。这也是许多学生为什么看图列式比看式作图作得好的原因所在。 2、学生思想上固有的依赖性。在优越、安逸的生活中，现在的孩子常常养成等、靠、要的习惯，学习中同样得以表现。对老师的作图的依赖性特强，情愿空着手看老师作图，动口不动手。这样是不能学好数形结合知识的，更谈不上有效了。 3、前期没有适当的图形基础知识作铺垫，成为后期数形结合学习的制约。 4、作图时不能规范操作。学生在平时的作业中，不论是从形到数，还是从数到形，因为不规范操作而带来认识上的误区，影响了学习的效率。譬如，画图不用铅笔，不用尺子或其它的工具，只是一味地想当然作图。 5、老师的要求不到位。对于数形结合的思想，老师一般认为没有算理算法重要。在无意识的情况下，忽视了数形结合思想，降低或不作要求。目标不明，则动力不足。 6、教师的越殂代疱和急功近利。紧张而有限的上课时间里，老师的教学任务重，因而以讲代练，以数代形，非得在一个个问题上讲多、讲透不可，很少训练学生的数形结合思想和空间想像能力。一心想着学生画图的时间，老师可以多讲一道题了。以至于代为刀手，越殂代疱。学生作壁上观，画得不多，练得不少。但是，形象的、具体的、直观的事物要比抽象的语言容易记得多。美国图论学者哈里有一句名言：“千言万语不及一张图。”说的就是这种道理。 7、软硬件不足的问题。借助挂图，尺子，圆规上课的年代虽已过时，却成为我们最经常化的内容。能随时随地利用类似理科实验室的器材，展示直观图形；运用各种教学手段，尤其是大量使用多媒体，“以形助数”，化抽象为具体，降低学生的思维难度，应该成为教学的重要依靠。电教手段的日常化，数据库的信息化，是老师们急切等待而久未实现的倚重。这些软、硬件的缺失，将会成为日常有效教学的遗憾，使我校有效教学遭遇到很大的瓶颈。 8、题海战术对数形结合等思想的冲击。 应试教育突出“练”字，题海战术对数形结合等思想的冲击很大。大量的习题训练能提高分数误导了师生和家长。可怜的孩子们对作业浮光掠影，跑马观花，哪有过深入思考、举一反三？大脑的马达长时间停留在低档，哪有强劲的动力产生学习的有效、高效呢？ 案例1：专家调查：中国学生计算能力世界第一，但是我们的创造力排名倒数。这是世界上最不公平的事！我们的小学生6点过起床，7点半到校，中午无休息，晚上的作业做到9点。外国的孩子为了诺贝尔物理奖、化学奖（没有奥数奖哈），却正在玩积木，玩游戏，玩表演，玩一切充满乐趣，充满活力，充满生机，充满希望的极具数学思想的活动。 三、培养学生数形结合思想的有效教学策略。 “空间与图形”是小学数学教学中的重要内容之一，在以后的学习中体现得更为明显。数形结合带给教学以蓬勃之生命，赋予教学以持续性的活力，使有效教学的策略更丰富，更清晰。 １、教学回归生活，以童真唤起兴趣，营造乐学的有效教学情境。 著名教育家皮亚杰说过：“儿童是具有主动性的人，所教的东西要能引起儿童的兴趣，符合他们的需要，才能有效地促使他的发展。”在我们的童年的记忆中，好的动画片和童话书总会给人一种最美好的的印象，那种感觉挥之不去，抹之不灭。新课改教材里各种鲜艳逼真的情境图，各种平移、旋转、对称的美丽图案，可以让学生真切地体会到了数学的美，受到美的熏陶。 案例：《轴对称图形》：课件的音乐声中，春天的蝴蝶翩翩起舞，夏天的蜻蜓早立杆头，秋天的枫叶随风而落。 观察引入：“我们身边的世界缤纷多彩，每一样景物都是一幅画像，每一样图画都是艺术作品。初步感知：看到这些图案你有什么感受？这些图案各不相同，却有一个共同特征，认真观察，看谁的眼力最好，最早发现这个特征。” 再现脸谱的图片，以美丽的生活场景引入，激发学生很快进入积极的学习情感状态。初步感知昆虫、脸谱等轴对称图形的外部特点，并形成一定的表象。 同时，在教学中尽可能多地以本地生活中的事物或景物作为例子，让学生对轴对称图形的建构看得见，摸得着。教师创设的问题情景如果能深深地吸引每一个学生，孩子们就会热情参与、积极动手、踊跃发言，为后面的教学作了适当的铺设。 2、看图说话，鼓励多提问；先学后导，作图更有效。 陶行知先生说过：“创造始于问题”。学生没将题目读懂时，他是没有问题的，这与他没读题效果一样。只有钻研之后，才会生出“看似绝壁，却辟小径”之感。 案例：天津到济南的铁路长357千米。一列快车从天津开出，同时有一列慢车从济南开出，两车相向而行，经过３小时相遇，快车平均每小时行79千米，慢车平均每小时多少千米？ 策略：学生围绕着问题与图形，反复在数与形之间辗转，借直观，解抽象，把一个无从下手的题目具体化。通过汇报，有多种解法，可列出学生容易理解的几种式子，再结合直观图，比较最简单的一种解题思路。 3、数形结合，不忘操作。由形到数是要求，由数到数是追求。 案例：《解方程》新教材第九册数学解方程单元，教材设计打破传统，不再利用数与数之间的关系解方程，而是借用天平使学生感悟等式、方程，探求方程两边都同加、同减、同乘、同除（0除外）同一个数，方程两边仍然相等的基本性质。这种解题方法是发展的、前瞻的、科学的。 策略一：由形到数，动手、观察天平的平衡现象。 策略二：由数到形，抽象问题反馈化，稍微后退跳得更远。 策略三：由数到数，升华思维。 4、“形→数”、“数→形”，分阶段把握数形结合知识难度，制定相应的教学策略。 低段学生及图形建构差的的学生适宜“形→数”的直观思维，其教学大多以观察、操作等活动开始，在感知和积累了大量空间图形的具体形象及抽象化图形后，自然过渡到复杂、抽象的图形学习。 高段的学生适宜“数→形”、“数→数”的抽象思维，因其数形知识有了一定积累后，几何直观图形感知能力，逻辑思维能力已有一定程度的发展。他们在观察、分析、思考题目后，对于简单的图，不一定每次都要画出来。数量关系式、图形能用“脑图”表现出来再好不过，“脑图”才是我们最美好的追求。 案例《圆的面积》： 要将一个圆切分成一个近似的长方形，一些老师教学时都会感到困难，孩子们会觉得容易吗？ 我们要做的，就是将数与形的知识结合起来，降低学生的认知难度，使问题迎刃而解。 对于学习有困难的学生，应视其情况，降低层次，回溯到相应的基础上再予以教学。梯形的面积不会做，三角形呢？也不会，很好！降低难度，拿一个平行四边形来，“老师，我还是不会”……太好了，出示长方形，还不会？数格子……有什么办法呢？学生的现状是第一位的，老师会为五年级学生不会做二年级的题而伤心、愤怒吗？尽管学生的无知是不合理的，却依然是存在的现实。临渊羡鱼不如退而结网，当堂发火不如蹲下身来。前提：把他当作你的孩子；原因：发火是无效的，反效的。 四、多元拓展，巩固生成数形结合的有效教学成果。 1、无图不成书，无图不成课，多元化地生成思维空间。 有效利用数学课本中的主题图，经历数形结合过程，建构有效课堂。我们念书时的课本特点就是白纸黑字。而新理念下的新教材“一改前非”，许多例题、习题中五彩缤纷的彩页和插图，还原和再现了生活化的特点，尤其是数学实践课、数学广角，为我们上好数学课提供了方便。能真正做到让学生动起来，对平面的图形要学会描绘，对立体的图景及实物要亲自参与观察、操作，让视觉、听觉、触觉等多种分析器官协同参与数形结合的活动，实现并享受数形结合概念的建模过程将不是奢望。 2、可依靠，不依赖，辩证地发展数形思想。 一味地依赖图形，只重视讲授“有形”知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，或者单纯强调数学思想和方法，而忽略“有形”知识的教学，都会使教学显得浮浅、不实、低效。 实施有效教学，是小学教学的永恒主题，是教师事业追求的理想境界，而数形结合是实施有效教学的一条捷径。它不是拔苗助长，也不是简单的看图说话，而是在数与形有效结合的理念指导下，产生的有效的行为，有效的教学反思习惯。我们能把握其特点，实施有效教学，必然会缩短单位教学时间，提高教学效率，达成学生空间思维有效、高效地发展的事半功倍的效果。 小学数学数形结合的数学方法 陈仓区实验小学 尚亚红 (一)引导学生做到数形有机结合 数形结合是将抽象与具体相融合的过程，在这一过程中能够有效实现数与形的优势互补，将二者之间的本质联系凸显出来。如在学习《圆的面积》一节时，之前学生已对圆有了基本认识，因此，在教学如何计算圆的面积时，教师可先引导学生猜想圆的面积同什么要素有关。为了让学生有更为直观的感受，教师还可要求学生自己在练习本上分别画出半径是3cm、4cm和5cm的圆。然后，再询问学生，这三个圆的大小不一样，那它们的面积大小是什么关系呢?是等于还是半径越小的面积越大，或是半径越大圆的面积越大?学生在思考了一下后大都认为半径为5cm的那个圆最大，半径是3cm的圆的面积最小。在有了这样的认识后，学生就会在头脑中形成“圆的面积同半径有关”这样一个认识，之后教师就可据此引导学生如何求得圆的面积。综上所述，在引入圆的面积之前，我先让学生对圆同半径之间的关系有了一个清晰的了解，为了达到这个目的采取的是让学生自己动手将头脑中抽象的东西通过图形展示出来并结合具体的数字印证出来的方法。这种数形结合的思想方法能够使问题直观化，将学生学习的积极性和主动性调动起来，提高了课堂教学质量。 (二)学会转化，化难为易 转化的思想就是“用联系、运动和发展的观点去看问题，通过变换问题的形式，把未解决的或复杂的问题归结到已经能解决的或简单的问题中，从而获得对原问题的解决，因此转化的思想方法也叫划归的思想方法。”在数学教学中转化的思想方法随处可见，特别是在解题时，我们可根据已知条件将问题转化，从另一个角度进行思考将“难”化“易”。如在讲完《圆的周长》这一节后，课后习题中有一道题是将长方形和正方形同圆结合起来，让学生在已知半径的情况下分别求出圆、长方形和正方形的周长。我将这道题中的一个小题做了改编，让学生在已知正方形周长的情况下去求圆的周长。圆位于正方形内，二者是相切的关系，这就要求学生能够根据正方形的周长求出正方形的边长，而正方形的边长就是圆的直径，再套用周长C=πd的公式就能求得圆的周长。这套题目要求学生能根据已知条件对问题进行转化，从而创造出更多的已知条件。在这个过程中，学生一方面将新旧知识联系了起来，另一方面也扩散了思维，对于学生学习能力和解决问题能力的提升有积极的促进作用。 (三)及时做到归纳、总结 及时地归纳和总结既能够使知识更加系统化，又便于学生更好地发现各个知识点之间的联系与区别，对于巩固学生知识具有十分重要的作用。在数学中归纳的思想方法指“通过对特殊示例、题材的观察和分析，摄取非本质的、次要的要素，从中发现事物的本质联系，并概括普遍性的结论。”在讲完《圆》这一节后，我会及时要求学生将跟圆有关的知识总结出来，并在总结的同时思考自己在这一部分的学习中哪里还没有真正掌握，哪里还存在欠缺。此外，我还要求学生将自己之前做过的练习题也做一个总结，甚至是再多做一遍。总结知识点有利于学生做好知识的巩固与梳理工作，练习题的归纳则是让学生对于不同题目的不同解题思路和技巧有一个更明确的认识。而学生在总结的过程中能不断提升自己的概括能力，这也是数学思想方法 “数形结合”在小学数学教学中的应用陈仓区实验小学 尚亚红
“数形结合”思想有着悠久的历史，数形结合是我国传统数学的思想方法之一，在数学教学史中具有举足轻重的地位。而在现实世界中，数与形紧密地结合在一起，这是直观与抽象相结合，感知与思维相结合的体现。数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是学生加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。
数形结合在小学数学中的运用 陈仓区实验小学 黄应妮 数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。 赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,而要教会学生思考,实质是要教会学生掌握数学的思想方法。常用的数学思想方法有很多,而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点,是解决许多数学问题的有效思想。将抽象的数量关系形象化，具有直观性强，易理解、易接受的特点。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。 一、 数形结合的功能 1、有利于记忆 由于数学语言比较抽象，而图形语言则比较形象。利用图形语言进行记忆速度快，记得牢。笛卡尔曾说：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”同时，由于图象是“形象”的，语言是“抽象”的，因此对图形的记忆往往保持得比较牢固。 2、有助于思考 用图进行思维可以说是数学家的思维特色。往往一个简单的图象就能表达复杂的思想，因此图象语言有助于数学思维的表达。在数学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拔，学生往往思路大开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。 二、培养学生数形结合思想方法的措施 1、强化意识，体会作用 我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思想方法在解题中的重要性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，提高主动运用的意识，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具，从而提高学生数学修养与解题能力。 例如，学生学完长方形和正方形的周长后，有一题是这样的：用4个变长为2厘米的正方形拼成一个长方形或正方形，周长最大是多少？最小是多少(周长为整厘米数) ? 一开始学生看不懂，问我“老师，什么意思？”我说：“看不懂的话，照题目说的拼拼看，可以同桌合作。先想有几种拼法?再想拼好后长和宽各是多少？”在我的启发下，学生很快拼出了两种。在这样的探究过程中，教师把“数学结合思想方法”有意识的渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，充分利用直观图形，把抽象内容视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。 2、扩大范围， 广泛应用 要培养学生数形结合思想方法，首先教师要切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素,都要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。“数形结合思想方法”包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在小学数学“数与代数”领域教学中，用得最多的是前者，我们可以把数学结合思想方法渗透在教学中的每一内容。以数与形相结合的原则进行教学。 （1）数的认识方面，例如在教学《1000以内数的认识》这节课教学中利用小立方体有效的帮助学生构建知识，以及初步感知十进制的计数方法。数数的难点就是接近整百的数，学生无法感受抽象的数数之间满10的变化，那么我们就将数数的抽象思考方式放大，将思维暴露出来，让学生通过观察小方块的变化，一对一的数数，在数到9变成10时，通过演示让学生理解10的由来同时强化十进制关系。同时通过 “形”来感知数的多少，既形象又深刻，培养了学生良好的数感。 （2）数的运算方面，借助“形”来帮助学生理解非常重要，除了我们常用的可以利用小棒等实物或图形来理解算理外，我们还可以丰富其内容，如：被减数中间有0的减法，可以利用计数器有效的突破难点。 （3）问题解决方面，借助数形结合能化抽象为形象，帮助学生建立直观模型，让数量关系更形象、更清晰。例如：公鸡有50只，比母鸡少15只。母鸡有几只？从线段图中很直观地看出母鸡的只数由两部分组成：与公鸡同样多的部分和多出来的部分，列式50+15=65（只）整个过程数形结合，在直观图示的导引下，使问题化难为易，化抽象为具体。 （4）常见的量方面，例如在教学《24时记时法》的教学中可以利用钟表上的刻度，1个大格代表1小时，24小时就是钟面上的时针走了2圈，同时形象的理解了0时和24时在同一点上，让具体的“形”与抽象的数相辅相成。 （5）式与方程方面，例如，在认识方程的教学过程中，可以利用天平秤中的等量帮助学生理解方程中的等量关系。 （6）几何方面，例如，一个长方体的表面积是14平方厘米，并能把这个长方体分割成3个完全相同的正方体，求每个正方体的表面积是多少平方厘米？通过画图可以把抽象的问题形象化。 以上例子仅是代表而已，只要我们留意，数形结合思想方法存在“数与代数”领域的每一个角落。 三、图形结合的方法 数形结合的思想方法是数学学科里最常用的一种方法，它包含了转化、配方、分类讨论、方程思想等数学思想方法，可见数形结合思想方法是数学中极具综合性的思想方法。在平常的教学活动中让学生学到数形结合的方法。教师可以采用多种方式精心组织学生训练，让学生置身于具体的教学过程，才能在教师的引导下逐步领悟，理解和掌握。可以采用以下方式： 1、运用或联想实物。 2、画图。画图的形式很多，包括画线段图、画图形、画示意图、画面积图、画点子图、集合图等等。 3、利用数轴。数轴是体现数形结合思想的一个重要方法。利用数轴，找到实数与数轴上的点的对应关系，让数与数轴这个“形”，紧密融合在一起。例如，教学《小数大小比较》时，由于学生在学习本节课的内容之前只是初步的认识了小数，还没有深入的学习小数的意义，因此学生在总结比较的方法时用抽象的数学语言比较困难。当文字的表述有困难时，利用数轴能很好的解决这一问题。因为对于每一个小数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个小数的大小比较，是通过这两个小数在数轴上的对应点的位置关系进行的。借助数轴让学生理解小数的大小，知道在数轴上越往后这个数越大，越往前这个数就越小。这节课还设计了这样一道练习： 0.4 > ( ) > ( ) > ( ) > ( )>0.3 在数轴上找出小于0.4大于0.3的小数以及能找出几个，这个练习借助数轴，让抽象的数学变得具体、形象。从图上很容易看出1－1/2－1/4－1/8-1/16＝。运用数形结合思想方法可以把代数与几何沟通了，使形直观地反映数内在的联系，拓宽思路，把复杂问题简单化，从而顺利且快速的解决问题，使数学知识变的更有生命力，让人回味无穷。我们提倡多种方式来渗透数形结合思想，要培养学生胸中有图见数想图，以开拓学生的思维视野。 在数形结合的教学过程中，应该慎重考虑“先数后形”还是“先形后数” 两者呈现的结果是不一样的，要把握好。数形结合思想有助于学生思维更形象，数形结合思想的方法不是万能妙药，提高学生的抽象逻辑思维能力也是非常重要的，两者之间应平衡。 小学数学中“数形结合”思想方法的运用。 陈仓区实验小学 杜丽丽 [内容摘要]数和形是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的。而数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 [关键词]数 形 数形结合 [正文] 新课标的修订，从原来的“双基”拓展到“四基”，即增加了基本思想、基本活动经验。知识和技能是数学的“双基”，而数学思想方法则是数学的灵魂。“数”和“形”是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的。而数和形的关系正如我国著名的数学家华罗庚所写的诗一样：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。” “数”与“形”之间的关系实际上反映了事物两个方面的属性，而数形之间的结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用，本文谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。 一、以形助数 根据数学问题中“数”的结构，构造出与之相应的集合图形，并利用几何图形的特征，规律来研究解决问题，这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免一些复杂的数字讨论。在这里我们暂且称之它为“以形助数”， “以形助数”其实指在我们数学学习的过程中，经常会有抽象的数学概念和复杂的数量关系，而我们往往可以借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法，以便于我们对其进行分析和理解。 “以形助数”中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。而小学阶段常用第一种或第二种，第三种则在高段中偶尔有出现。那么“以形助数”该如何运用到课堂中去呢？请看： (一)用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率 用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。例如：中年级学生学习“求比一个数的几倍还多几(少几)”的应用题时，学生对“几倍多几”或“几倍少几”较难理解，为突破这个教学难点，我设计了右面的图形： 结合图形，让学生说：有6个□，△的个数比□的3倍还多4个；也可以说：有6个□，△的个数比□的4倍少2个； 接着，出示下面的问题： (1)□有6个，△比□的3倍多4个，△有多少个？ 算式：6×3+4=22个 (2)□有6个，△比□的4倍少2个，△有多少个？ 算式：6×4-2=22个 比较两题的算法，都要分两步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上或减去跟整倍相差的数。 这一段教材，一般的教法是：先教求比一个数的几倍多几的数，再教求比一个数的几倍少几的数，最后综合练习。我把这两个相关的内容结合起来一起教，并借助图形的帮助，学生容易理解，比分开教还理解得清楚，学生的思维也更灵活。如自编应用题时，有的学生编了：“皮球的个数比足球的4倍少3个，也就是比足球的3倍多2个，足球有多少个？”这题编得富有创造性，这是用一般教法所不能达到的，如果没有图形的帮助，这样的教学效果也是不可能达到的。 (二)借助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力 儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。 例如：在教学长方体的认识时，我让学生用小棒代表长方体的棱长，12根小棒分长、宽、高三组，思考如何围成一个长方体。根据长方体长、宽、高三条棱的长度，用手势比划一个长方体，并且想象出它与哪一个实物很相似。如已知长22cm，宽8cm，高3cm，学生手势比划后说这长方体与铅笔盒很相似；又如长4cm，宽2cm，高1cm，手势比划后，想象出与一块橡皮相似等。 又如，教学求圆锥体积，推导出公式后，我引导学生这样想：每一个圆 即得到圆锥体积。 接着，我还运用运动变化的思想进行教学，使学生的认识进一步深化，并进行辩证唯物主义观点的启蒙教育和发展空间观念。出示静态的等底等高的圆柱体和圆锥体(图①)，然后运用电教手段使它们变为动态。 (1)把圆锥的高升高到原来的3倍，圆柱不变(图②)。这时两者之间的体积关系怎样？ (2)把圆锥还原，而把圆柱升高到原来的3倍，这时，两者的体积关系怎样？(图③) (3)把圆柱和圆锥的高同时升高到原来的3倍，它们的体积关系又怎样？(图④) 这时，学生的思维非常活跃，想象也很丰富，回答同一问题，有各种不同的思路。如第(①)题，有的同学先把升高了的圆锥想象为圆柱，那么这个想象中的圆柱体积是它左面的圆柱体积的3倍，但 积一样大。有的学生则想到，圆锥的高扩大到3倍，这3倍与原来圆锥的 除了想出圆柱高是原来的3倍，体积就是圆锥的9倍外，有的学生把升高的圆柱看作3个圆柱，每个圆柱是右面圆锥的3倍，3个圆柱的体积共是9倍。学生多角度地灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化。 又如解决问题中，我们也往往会借助线段图来理解题中的数量关系，从而来解决问题；再或者利用韦恩图等表示出问题中的包含关系，使问题简单化。如在解决问题中有这样一题“某班有57人，报名参加数学活动社团的有30人，参加英语口语社团的有38人，两项都没有参加的有7人，那么同时参加数学活动和英语口语的有多少人？”解决这一题我们就可以很好地利用韦恩图来表示此题中的数量关系。如下图，从图中我们可以清楚地看出，参加学生社团共57-7=50人，而参加英语口语和数学活动之和是30+38=68人，68比50多18人，而这18人正好就是参加两项的人数，也正好是英语口语和数学活动两者的交集部分，即同时参加了数学活动和英语口语两项学生社团。 二、以数解形 有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系（如算式等），以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征、形的求积计算等等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。 如《长方体的认识》学生在后来计算有关特殊长方体的表面积或是棱长之和等问题中总是弄不清要计算哪几个面，学生只简单背出了长方体的有关特征，具体如何运用却不知所以然，所以我后来在教学人教版五年级下册《长方体的认识》一课中，在接下来的进一步认识长方体的过程中，先出示6、12、8三个数字，让学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征……，学生通过小组合作，找出长方体的特征：6个面，12条棱，8个顶点 6个面中有两个相对的面是相等的（当有2个相对的面是正方形时，也会有4个面相等），12条棱中有4条相对的棱相等（当有2个相对的面是正方形时，有8条棱相等），学生在加深三个数字与长方体特征之间联系后，对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，例如计算抽屉、柱子的表面积时，先弄清这样的长方体有几个面，就计算几个面的面积，如抽屉有5个面，少了上面，求的方法也呈现多样化，或用6个面面积减去上面面积，或是计算前后左右4个面面积，再加上底面积等；而柱子只有4个面，求粉刷柱子的表面积，则只需要求前后左右4个面就可以了，避免了犯不必要的错误。 通过鼓励学生仔细观察几个数字和长方体特征之间的关系，从具体的事物中抽象“数”，体会“数”表示物体个数的含义和作用，让学生体会数字所包含的图形特征，再借助“数”的运算解决有关几何问题（如求几何体的表面积、总棱长、积等）。这样，让学生们在“见形”过程中有目的去“思数”，在“思数”的过程中利用“数”来解释“形”，这样既训练了学生的思维能力，又会收到更好的效果。学生一看到6、12、8等数字时，马上能联系到长方体各个特征，在脑子中建立起长方体的模型，象这样有的放矢的在一定时间里重点渗透数形结合的数学思想方法，既可以培养学生在以后的学习中逐渐形成一定的数感，同时在渗透数学思想的过程中，让学生感悟“数形结合”思想的好处。 三、数形结合，为建立函数思想打好基础。 小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。为初中数学学习打好基础，如确实位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。此外，在六年二期学习的比例中，让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现成只要是正比例关系的式子，画在坐标图中是就一条直线。从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。 总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。
小学数学教学数形结合研究 陈仓区实验小学 杜丽丽 一、数形结合思想在小学数学数的运算中进行渗透教学 小学生学习数学，除了认识数字之外，还需要学会数之间的运算关系。所以小学数学教师要在运算教学的的过程中，用数形结合的思想，引导小学生来学习正确的数学算法与算理，教师需要重点注意的地方就是要让算法与算理相结合。教师可以利用实际物体来给小学生展示算理的过程，让小学生能够用形来帮助自己理解，进而学到相应的数学知识。通过较为直观的运算，可以让小学生更容易进行理解，并且还可以有效地解决小学生在计算的时候遇到的困难。教师也可以在直观教学的基础上，让小学生想象一下列竖式的过程，需要注意的是，教师可以把直观图一直放在黑板上，引导小学生进行学习反思，让小学生找出列竖式的过程，与直观图有哪些内在联系，让小学生学会算法与算理。再例如，教师在教小学生进行分数乘法或者是出发的时候，也可以利用长方形的纸片来作为教学的素材，然后再让小学生对纸片进行“分一分、涂一涂”的操作，将这样就可以把“数”转化成为“形”，进而再引导小学生对其进行分析，进而利用图形语言来让小学生理解分数乘、除法的算理。 二、数形结合思想在小学数学解决问题中进行渗透教学 1．利用数形结合思想，理清数量关系 在小学数学进行教学的过程中，数量关系是一种特殊的研究对象，并且在解决一些问题的教学过程中，数量关系一直都小学数学教学过程中的难点以及重点，主要原因就是因为其关系较多并且复杂，这致使小学生在学习的时候有一定的困难，并且他们还不容易掌握。如果教师能够运用数形结合的思想，运用线段图等巧妙利用图形直观的表示出数量关系，就会发生良好的教学效果。例如，解决“银行、电影院和小明家在某大道的同一边。银行距离小明家有270米，电影院距离小明家330米。请问银行距离电影院多少米?”这个问题的时候，很多小学生都会只有一种答案，270+330=600(米)。而这时候，教师如果可以引导小学生用线段图来表达出问题的题意，那么小学生就会出现疑惑:银行、电影院和小明家应该标画在什么地方呢?而用线段图就可以清楚地表示出不同的情况。并且直观线段图还能够吸引小学生的注意力，最为重要的是能够让小学生在图形中把较为复杂一些的问题给简单化，把一些抽象的问题给形象化，进而让小学生构建出一个数学模型，提升解决问题的整体速度。 2．利用数形结合思想，解决植树问题 如果小学生遇到植树问题，教师可以利用数形结合的思想，让小学生用图形的方式，表达出问题的题意。并利用图形归纳总结出基本的解题思路。然后通过图形让小学生领会一下数与树之间，还有间隔数量之间的关系，这样让小学生利用几何的直观图，让小学生能够利用抽象的方法，表达出数量关系，进而提升小学生解决问题的水平。 3．利用数形结合思想，解决图形方面的问题 在面对几何图形问题的时候，会有这样一类问题:“有一中心小学以前有一个长方形的体育操场，这个体育操场的长是50米，宽是40米。但是校园在进行扩建的时候，给这个体育操场的长度给增加了20米，同样对宽度也进行了增加，增加至30米。问体育操场的面积到底是增加了多少平方米?”关于这类问题，如果教师不画出示意图，会有很多小学生在进行计算的时候，这样算增加的面积20×10=200(平方米)。而教师画出示意图之后，再让小学生来理解一下，就会发现增加的面积，其实不是一个长方形的面积，而是其他的形状，所以要对其进行分割，再来计算增加的面积，让数形结合思想能够充分的渗透到教学的过程里面。 三、结束语 通过上述文章内容，我们可以看出，数形结合思想在小学数学教学过程中，是非常重要的教学方法，所以教师要加大对数形结合思想的研究力度，重点研究数形结合思想在小学数学教学过程中的渗透情况，结合小学生学习数学的实际情况，进而提升小学生的数学成绩。在未来的教学过程中，教师也应当注重培养学生的数学学习兴趣，进一步提升课堂教学质量。
浅谈小学数学的数形结合 陈仓区实验小学 罗晓梅
“数无形而少直观、形无数而难人微，数形结合百般好、隔裂分家万事休”，华罗庚教授非常精辟而又通俗地阐明了数和形结合的必要性。小孩子们思维方式以具体形象为主， 在小学数学教学中运用数形结合，既切合孩子们的认知规律， 又能通过形象化的实例激发孩子们学习的兴趣， 通过学习培养孩子们的思维能力。
三、数形结合，理清解题思路。便于解决问题。
例： 学校第一次买来了3个足球和3个排球， 共用去75元，第二次买来3个足球和5个排球， 共用去105元。如果单纯从文字内容上来讲， 学生理解上有一定的困难， 于是，和学生分析列表。学生观察比较： 会思考到， 足球个数一样，为什么总价不一样呢？ 多105- 75=30（ 元） 呢？ 从而得出因为足球同样多， 第二次买的排球5个比第一次买的排球3个多了2个，多2个排球对应的， 多的钱就是30元， 那么每个排球30÷2=15（ 元） 。 数形结合思想在小学数学教学中的应用 陈仓区实验小学 罗晓梅
一、教师要深入研究教材，有效渗透数形结合 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、对比、分析、抽象、概括的过程中看到数学知识蕴涵的思想。 如一年级下册“两位数加减一位数和整十数“35-2”和“35-20’内容时，教师可提出问题，这两题怎么计算？让学生说出算法，再根据学生的回答分别写出支形图，并写出想的过程，然后进一步追问：“有没有不同的算法？”激发学生思考，开拓学生的学习思维。最后进一步问：计算35-2，能不能先用十位上的3减2等于1，结果35-2等于15对吗？让学生思考讨论，产生思维的碰撞，让学生的思维碰撞出智慧的火花。接下来让学生用摆小棒验证，教师可充分利摆小棒，使学生明白：因为35中的3表示3个十，5表示5个1，计数单位不同，所以不能用十位上的3减2，可以用5个1减2个1等于3个1，它们的计数单位都是1，再和3个十合并起来等33。通过摆小棒有效地渗透数形结合，使问题简明直观。教师要深入研究教材，弄清编排的意图，吃透教材，才能用好教材，有效渗透数形结合思想，彰显了数学学习的价值，通过摆小棒这个活动让学生感受到简单推理的过程，获得一些简单推理的经验就可以了。在教师的引导下，让学生明白这两题是把相同数位相加减的算理，这是教材编排的意图，也是本节课的重点。在教学时，应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”。渗透数学思想，路漫漫兮，任重而道远，作为孩子们的老师，我们应该充分根据孩子们的发展规律，适当地利用教材，在教学过程中巧妙地渗透思想，培养学生解决问题的能力。 二、在课堂教学的主要环节中，利用数形结合，有助于学习难点化解。 数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的学习方法。在教学中那些学生觉得难以理解的或是易出现错误或混淆的内容，教师可充分利用“形”，把抽象的问题变得直观、形象，丰富学生的表象，引发联想，引导学生探索规律，得出结论。
如：二年级上册的一道习题：飞机场停了18架飞机，飞走了7架，原来有多少架？当时学生都认为是18-7=11。显然，学生在做这两道题时，并不理解其中的数量关系，只看到了文字的表面，认为“买了”、“飞走”就应该用减法。在数学中，我们经常会运用画图的方式来简化题目，分析其数量关系，寻找解决问题的途径；且二年级的学生已经积累了大量的图形经验。基于这样的思考，我设计了让学生通过画图表达题意的环节，同时一一展示学生作品。从学生的作品中，我们清晰地看到他们对数学关系的直观表达。这些作品也让学生更好地理解了两种解题方法。 三、创设情境，培养学习兴趣的同时渗透数形结合思想 数学是一门抽象的知识，在学生看来是桔燥乏味的，抽象的，只有让学生对数学产生兴趣、产生求知的欲望，课堂数学才能达到良好的效果。如果课堂上能根据教材特点讲一些生动的故事，介绍数学的巧妙所在，让学生在较短的时间内思维活跃起来，达到“形”之有效，如教学“圆柱的认识”时，我收集生活中圆柱形的物体，如：蜡烛、灯笼、茶叶罐等，让学生观察，研究它们的特征，弄清概念的含义，再让他们举出生活中或周围具有这样特征的例子。课堂气氛活跃，每个同学都跃跃欲试，既充分激发了学生的学习兴趣，同时也让同学们知道现实生活中处处有数学，数与形是无法分割的。又如学习“平移、旋转”时，学生感觉抽象，难理解，教师可借助媒体课件演示，然后让学生动手画一画，再数形结合进行分析、概括、推理、判断，使学生的认识上升到一种理性的高度，进而掌握平移、旋转的特征，而且还培养了学生的美感、想象力和创新能力。 四、在讲评练习时，利用习题资源渗透数形结合思想，使之成为学生学习数学，解决数学的工具，同时养成数学思考的习惯。 画图能清晰表达学生的思维过程，使学生的思考有序、全面，促进了有序思维的养成。如六年级考卷有道题：甲乙两人分别从AB两同时相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行100米，5分钟后两相距150米，A、B两地相距多少米？画图是学生喜欢的学习方式，这样的学习不仅有趣、灵活、扎实，更有利于数学模型的建立。（分析各种情况解答）我在讲评时，抓住这道题的特点，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，引发思考、拓宽思路、提高学生分析和解决问题的能力。分析第一种情况：两人还没相遇，剩150米还没行完，另一种情况：两人相遇后又各自继续行驶，150米是甲乙两人相遇后各自分别行驶的路程。学生根据线段很快说出数量关系式并列式解答，将复杂的文字叙述转化为图形进行分析，降低了难度，也渗透了数形结合思想，学生学得有趣，也乐于学，通过数形结合，较快达到解题方法，达到优化解题途径的目的。 五、合理应用，深化数学思想 。 数学思想方法只有在反复运用中，才能得到巩固与深化，在教学中，数形结合思想具有可以使问题直观呈现的优点，也有利于加深学生对知识的识记和理解。数学学习有两条线：一条明线数学基础知识，一条暗线数学思想方法。小学数学教材编排是以数学知识的发生、发展、运用为线，知识内容是显而易见的，但对于数学知识中所蕴含的数形结合思想教材并未明确指出，学生也不易察觉，需要教师潜心钻研并挖掘其中的思想内涵，这样才能在教学数学知识的同时予以渗透。 总之，数与形是数学知识的两个方面。在小学教学中适时的引导学生用直观图形表达数量关系，可让学生意识到图形的优势，从而形成数形结合的思想。此外，数学知识和数学思想方法是小学数学教材体系的两条主线。但数学思想方法往往蕴藏在数学知识中。教师应深入钻研教材，仔细推敲教材各部分的编排意图，挖掘蕴含其中的思想方法，并从学生思维发展的角度出发，对教材进行整合和延伸，使教学内容与图形直观有效整合。 小学数学“数形结合”思想方法的灵活妙用 陈仓区实验小学 尚文菲 我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微， 数形结合百般好，隔裂分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”数形结合符合人类认识自然，认识世界的客观规律。 “数”和“形”是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念逐步展开的。 “数”与“形”的结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用，本文谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。 一、以形助数----用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率。 用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”通过借助简单的图形，符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。例如：例1：把一根绳子对折三次，现在的绳子占原来绳子总长的几分之几？ 分析与解：这道题条件虽少，对于大部分学生单从字面上很难弄清现在绳子与原来绳子之间的关系。如果画出线段图，思路就豁然开朗了。 对折第二次的线段长是第三次的2倍，对折一次是第二次的2倍，所以用2×2×2=8 1÷8=1／8，利用数形结合，学生表象清晰，思维清楚，对算理能理解透彻。如果没有图形的帮助，这样的教学理解也是不可能达到的。 (二)借助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力 儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。 例如：在教学长方体的认识时，我让学生用小棒代表长方体的棱长，12根小棒分长、宽、高三组，思考如何围成一个长方体。根据长方体长、宽、高三条棱的长度，用手势比划一个长方体，并且想象出它与哪一个实物很相似。如已知长21cm，宽8cm，高3cm，学生手势比划后说这长方体与铅笔盒很相似；又如长8cm，宽5cm，高5cm，手势比划后，想象出与粉笔盒相似等。 二、以数解形 有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系（如算式等），以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征、形的求积计算等等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。 如《长方体的认识》学生在后来计算有关特殊长方体的表面积或是棱长之和等问题中总是弄不清要计算哪几个面，学生只简单背出了长方体的有关特征，具体如何运用却不知所以然，所以我后来在教学人教版五年级下册《长方体的认识》一课中，在接下来的进一步认识长方体的过程中，先出示6、12、8三个数字，让学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征……，学生通过小组看看摸摸等合作活动，找出长方体的特征：8个顶点，12条棱，6个面。是点，线，面的关系，学生在加深三个数字与长方体特征之间联系后，对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，例如计算抽屉、冰箱布套、长方体鱼缸的表面积时，先弄清这样的长方体有几个面，就计算几个面的面积，如抽屉、鱼缸有5个面，少了上面，冰箱布套则是少了下面，求的方法也呈现多样化，或用6个面面积减去上面面积，或是计算前后左右4个面面积，再加下面面积等；避免了犯不必要的错误。 通过鼓励学生仔细观察几个数字和长方体特征之间的关系，从具体的事物中抽象“数”，体会“数”表示物体个数的含义和作用，让学生体会数字所包含的图形特征，再借助“数”的运算解决有关几何问题（如求几何体的表面积、总棱长、体积等）。这样，让学生们在“见形”过程中有目的去“思数”，在“思数”的过程中利用“数”来解释“形”，这样既训练了学生的思维能力，又会收到更好的效果。学生一看到6、12、8等数字时，马上能联系到长方体各个特征，在脑子中建立起长方体的模型，象这样有的放矢的在一定时间里重点渗透数形结合的数学思想方法，既可以培养学生在以后的学习中逐渐形成一定的数感，同时在渗透数学思想的过程中，让学生感悟“数形结合”思想的好处。 三、数形结合，思维开花。 把数与形有机的结合起来，不仅形象易懂，而且有助于培养学生灵活运用知识的能力。解题时利用数形结合，可帮助学生克服思维的定势，学生可进行大胆合理的想象，不拘泥于教师教过的解题模式，选用灵活的方法解决问题，追求解题方法的简捷独特，经常进行这样的训练，逐步强化学生思维的灵活性。 例如在学用字母表示数那一课 出示“1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿。 2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿。 3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿。” … 让学生接着往后编 4只青蛙4张嘴，8只眼睛16条腿。 5只青蛙5张嘴，10只眼睛20条腿。 6只青蛙6张嘴，12只眼睛24条腿。 … 能编的完吗？ 不能。想办法用一句话把它编完。 学生会想到用字母即形来表示 a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。 通过数形结合，让抽象的数量关系、解题思路形象地外显了，学生易于理解。一题多解，思路开阔，学生的思维品质、数学素质产生了飞跃。 总之，在小学数学教学中，数形结合能将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，使复杂问题简单化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习生活打下坚实的基础。
浅谈数形结合思想方法的渗透 陈仓区实验小学 尚文菲 数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想，是解决许多数学问题的有效思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微”。那么如何在教学中渗透数形结合的思想。下面谈谈自己的看法： 一、教师要深入研究教材，有效渗透数形结合 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法①？在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、对比、分析、抽象、概括的过程中看到数学知识蕴涵的思想。如一年级下册“两位数加减一位数和整十数“35-2和35-20内容时，教师可提出问题，这两题怎么计算？让学生说出算法，再根据学生的回答分别写出支形图，并写出想的过程，然后进一步追问：“有没有不同的算法？”激发学生思考，开拓学生的学习思维。最后进一步问：计算35-2，能不能先用十位上的3减2等于1，结果35-2等于15对吗？让学生思考讨论，产生思维的碰撞，让学生的思维碰撞出智慧的火花。接下来让学生用摆小棒验证，教师可充分利摆小棒，使学生明白：因为35中的3表示3个十，5表示5个1，计数单位不同，所以不能用十位上的3减2，可以用5个1减2个1等于3个1，它们的计数单位都是1，再和3个十合并起来等33。通过摆小棒有效地渗透数形结合，使问题简明直观。教师要深入研究教材，弄清编排的意图，吃透教材，才能用好教材，有效渗透数形结合思想，彰显了数学学习的价值，通过摆小棒这个活动让学生感受到简单推理的过程，获得一些简单推理的经验就可以了。在教师的引导下，让学生明白这两题是把相同数位相加减的算理，这是教材编排的意图，也是本节课的重点。学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”。渗透数学思想，路漫漫兮，任重而道远，作为孩子们的导师，我们应该充分根据孩子们的发展规律，适当地利用教材，在教学过程中巧妙地渗透思想，培养学生解决问题的能力。 二、在课堂教学的主要环节中，利用数形结合，有助于学习难点化解数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的学习方法。在教学中那些学生觉得难以理解的或是易出现错误或混淆的内容，教师可充分利用“形”，把抽象的问题变得直观、形象，丰富学生的表象，引发联想，引导学生探索规律，得出结论。“植树问题”，吴老师在本课教学中把一一对应数学思想方法作为支点，借助生活中的实例康师傅3+2饼干，手指、路灯、树，课件演示，从而引出间隔与间隔数，为新课学习作铺垫，再出示例题：为了美化环境，学校准备在一条长20米的小路一侧种小树，每隔5米种一棵，一共需要多少棵树苗？教师应用学生已有的经验来画示意图，模拟种树，再将学生画的示意图展示交流，根据示意图，结合一一对应思想，突出了数形结合的思想，并让学生感受生活中洋溢着数学知识，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使概念更直观更形象，有利于学生的理解和掌握。学生根据示意图，很快得出解题方法 这种加强了数与形之间的联系，利用数形结合，线段图直观有助于学生的学习，化解了难点，从而得出模型：两端都种：棵数=间隔数+1，只种一端：棵数=间隔，两端都不种：棵数=间隔数-1，最后在设计练习把数字变大，让学生发现用画图麻烦，从而考试用列算式来解决，也就是让学生应用建构的模型，还得让学生思考，什么情况下加1、减1或不加1也减1，说说理由，让孩子产生认知冲突。有的学生就说了“我不用画那么多，可以先把数字变小，画图，根据图形便知道是属于哪种种法，然后可用列式解决。这节课学生不仅学会运用数形结合，也懂得化难为易，最后应用模型解决问题的能力，也培养了学生的逻辑思维能力。 三、创设情境，培养学习兴趣的同时渗透数形结合思想 数学是一门抽象的知识，在学生看来是桔燥乏味的，抽象的，只有让学生对数学产生兴趣、产生求知的欲望，课堂数学才能达到良好的效果。如果课堂上能根据教材特点讲一些生动的故事，介绍数学的巧妙所在，让学生在较短的时间内思维活跃起来，达到“形”之有效，如教学“圆柱的认识”时，我收集生活中圆柱形的物体，如：蜡烛、灯笼、茶叶罐等，让学生观察，研究它们的特征，弄清概念的含义，再让他们举出生活中或周围具有这样特征的例子。课堂气氛活跃，每个同学都跃跃欲试，既充分激发了学生的学习兴趣，同时也让同学们知道现实生活中处处有数学，数与形是无法分割的。 又如学习“平移、旋转”时，学生感觉抽象，难理解，教师可借助媒体课件演示，然后让学生动手画一画，再数形结合进行分析、概括、推理、判断，使学生的认识上升到一种理性的高度，进而掌握平移、旋转的特征，而且还培养了学生的美感、想象力和创新能力。 四、在讲评练习时，利用习题资源渗透数形结合思想，使之成为学生学习数学，解决数学的工具，同时养成数学思考的习惯。 如六年级考卷有道题：甲乙两人分别从AB两同时相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行100米，5分钟后两相距150米，A、B两地相距多少米？（分析各种情况解答）我在讲评时，抓住这道题的特点，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，引发思考、拓宽思路、提高学生分析和解决问题的能力。分析第一种情况：两人还没相遇，剩150米还没行完，另一种情况：两人相遇后又各自继续行驶，150米是甲乙两人相遇后各自分别行驶的路程。学生根据线段很快说出数量关系式并列式解答，将复杂的文字叙述转化为图形进行分析，降低了难度，也渗透了数形结合思想，学生学得有趣，也乐于学，通过数形结合，较快达到解题方法，达到优化解题途径的目的。 五、合理应用，深化数学思想 数学思想方法只有在反复运用中，才能得到巩固与深化，在教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，也有利于加深学生对知识的识记和理解。 现实生活中的数与形是紧密联系的，相辅相成的，抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生的迁移思维能力、分析问题能力及解决问题的能力，对学生今后的数学学习和知识的应用将有深远的影响。 数学学习有两条线：一条明线数学基础知识，一条暗线数学思想方法。小学数学教材编排是以数学知识的发生、发展、运用为线，知识内容是显而易见的，但对于数学知识中所蕴含的数形结合思想教材并未明确指出，学生也不易察觉，需要教师潜心钻研并挖掘其中的思想内涵，这样才能在教学数学知识的同时予以渗透。此外，数形结合思想又不像数学知识，解题方法那种具有某种形式，只是体现为一种意识或观念，它不可能是一朝一夕、一招一式可以形成的，它是一个渐进的完成过程。它需要日积月累，长期渗透才能逐渐为学生所掌握。这又要求教师应做教学的有心人，从学生发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划、有系统，适时适度以渗透，使数形结合思想能始终贯穿在传授数学知识的过程中，成为一种有意识的教学活动。只有这样，数形结合思想方法的教学才能落到实处，学生才能逐步形成数形结合思想，并将其作为学习数学，运用数学和创造数学的有力工具。
“数形结合”在小学数学教学中的应用 陈仓区实验小学 张丽 《数学课程标准》中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。” 数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想。数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。 一、渗透数形结合思想，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念 建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。
例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。二年级数学新教材第一册中通过游乐场主题图来引入乘法。在实际课堂教学中运用Power Point幻灯片技术展现一条船上有三人，然后依次出现这样的第二条船，第三条船，一直到第六条船，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示满是船的湖面一边提出：“如果有20条船，30条船，甚至100条船，你们怎么办呢？“学生一片哗然：哦~~！！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！教师归纳：可用乘法算式表示——船的条数乘以一条船的人数或者用一条船上的人数乘以船的条数。数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。 教学实践证明：在教学中运用数形结合，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，激发了学生学习数学的兴趣,增强了学生的求新、求异意识。 二、渗透数形结合思想，使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然。数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。如，在教学“分数乘分数”时，课始创设情境：小区铺一块绿地，每小时铺这块地的1/2，照这样计算，1/4小时能铺这块地的几分之几？在引出算式1/2×1/4后，我采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/2×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领学困生。学困生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/2×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，展示、交流。 再如，学习“植树问题”时，先与学生们一起玩手指游戏。即出示两个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“两个手指一个间隔。”接着出示三个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“三个手指两个间隔。”……从而得出手指数和间隔数之间的关系是：手指数＝间隔数＋1。情境引入后，出示例题：“同学们要在长30米的小路一边植树，每隔5米种一棵，两端也要种。一共需要多少棵树苗？”然后让学生分组讨论，根据自己的理解列式解答，并设法验证。汇报时，有些学生是通过画示意图，进行“实地”植树来验证；更多的学生是通过画线段图来说明。大家均验证出：在两端都种的情况下，植树的总棵数＝间隔数＋1，像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解了分数乘分数的算理。 三、渗透数形结合思想，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力 运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。能调动学生主动积极参与学习，能提高学生的思维能力。
如：下例是从二年级数学第一册的一次练习中截下的，此前，学生已经掌握“一个数的几倍是多少”和“一个数是另一个数的几倍”的知识。 “高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学思想方法之一，它也是数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于学生“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”在小学数学教学中，学生懂得“数形结合”的数学思想方法后，对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的。 综上所述，教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这是我们数学教学着力追求的目标。 数形结合在小学数学中的教学运用 陈仓区实验小学 张丽 《数学课程标准》中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。” 数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想。数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。 一、渗透数形结合思想，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念 建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。
例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。二年级数学新教材第一册中通过游乐场主题图来引入乘法。在实际课堂教学中运用power point幻灯片技术展现一条船上有三人，然后依次出现这样的第二条船，第三条船，一直到第六条船，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示满是船的湖面一边提出：“如果有20条船，30条船，甚至100条船，你们怎么办呢？“学生一片哗然：哦~~！！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！教师归纳：可用乘法算式表示——船的条数乘以一条船的人数或者用一条船上的人数乘以船的条数。数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。 教学实践证明：在教学中运用数形结合，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，激发了学生学习数学的兴趣,增强了学生的求新、求异意识。 二、渗透数形结合思想，使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然。数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。如，在教学“分数乘分数”时，课始创设情境：小区铺一块绿地，每小时铺这块地的1/2，照这样计算，1/4小时能铺这块地的几分之几？在引出算式1/2×1/4后，我采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/2×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领学困生。学困生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/2×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，展示、交流。 再如，学习“植树问题”时，先与学生们一起玩手指游戏。即出示两个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“两个手指一个间隔。”接着出示三个手指， 让学生观察，有几个手指几个间隔？“三个手指两个间隔。”……从而得出手指数和间隔数之间的关系是：手指数＝间隔数＋1。情境引入后，出示例题：“同学们要在长30米的小路一边植树，每隔5米种一棵，两端也要种。一共需要多少棵树苗？”然后让学生分组讨论，根据自己的理解列式解答，并设法验证。汇报时，有些学生是通过画示意图，进行“实地”植树来验证；更多的学生是通过画线段图来说明。大家均验证出：在两端都种的情况下，植树的总棵数＝间隔数＋1 像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解了分数乘分数的算理。 三、渗透数形结合思想，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力 运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。能调动学生主动积极参与学习，能提高学生的思维能力。
如：下例是从二年级数学第一册的一次练习中截下的，此前，学生已经掌握“一个数的几倍是多少”和“一个数是另一个数的几倍”的知识。 “高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学思想方法之一，它也是数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于学生“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”在小学数学教学中，学生懂得“数形结合”的数学思想方法后，对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的。 综上所述，教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这是我们数学教学着力追求的目标。 浅谈“数形结合” 陈仓区实验小学 邵玲玲 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。数形结合是连接“数”与“形”的“桥”，它不仅作为一种解题方法，还是一种重要的数学思想。 我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本是相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉， 形少数难入微， 数形结合百般好，隔裂分家万事休，切莫忘,几何代数统一体,永远联系切莫分离。”寥寥数语，把“数形结合”之妙说得淋漓尽致。长期以来，在教学中数学知识是一条明线，得到数学教师的重视；数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，则使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习中。 作为一线教师，如何系统的运用数形结合思想进行数学教学，“数形结合”思想在小学数学中有什么重要意义呢？ 一、数形结合是小学数学中常用的数学思想方法，数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。另外，或者把关于几何图形的问题，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。在小学数学中，用得最多的是前者，而且在应用题的分析求解中，通常是将数量关系转化成线段图。然而，这并不是唯一的方式。实际上，在不同的问题中，可将数量关系转化为不同的图形。其中有一个原则：能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。 二、数形结合能激发学生求知欲，调动学生学习积极性。学生对学习的需要和兴趣是调动学生积极学习的动力。数形结合，创设与知识信息相关的情景，能调动学生的学习积极性，从而产生学习热情。如：在教学认识圆形的时候，我首先出示圆形，请学生从学具袋中找出圆形。并问：你知道生活中有哪些物体的面是圆形的吗？学生回答后看生活中的圆形，课件演示。然后让学生分小组用大小不等的圆拼成图形，看谁拼的图形逼真、有创意，学生拼图的积极性非常高，寓教于乐。接着出示一个球，问：这个是不是圆呢？这是一个球，它跟我们今天学的圆有什么不一样呢？让学生用手摸一摸后问：圆和球有什么不同呢？学生得出结论：圆是平平的，球是鼓鼓的；球还可以拍，圆不能拍。通过学生之间的合作，观察、探索、合作、交流，让不同知识水平的学生在小组学习中进行互补、互学。动手操作在这一过程中也必不可少。低年级学生的思维很具体形象，只有让他们自己动手去试，去发现，那样得到的知识才能被他们所接受和更好的理解。整个过程中，学生的求知欲始终很高，学习的积极性得到了充分调动。 三、数形结合能增强学生的思维能力，帮助学生解难释疑。数形结合解题，实际上是一个“数”与“形”互相转化的过程，即把题目中的数量关系转化成图形，将抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步转化成算式，以达到问题的解决。如教学“小数的意义”，教学1/10米就是0.1米时，特意设计了在直尺上任意找0.1米的活动。让学生知道这个0.1米是指十份当中的任何一份，而不是单指0－1之间的这一份。同时让学生围绕“0.1米”这个基本的计数单位在直尺上找小数的过程：如在米尺上找出0.3米,说一说你是怎样找出0.3米的?0.3米是几分之几米? 0.3米里面有几个0.1米。或在米尺上找出7个0.1米,想一想用小数表示是多少米?用分数表示又是多少米？„„让学生在“找”“说”的活动中，把0.1米的实际表象深深印在脑海里，同时也感悟到一位小数都是由几个0.1组成的，1米里面有10个0.1米。0.1是一位小数的计数单位。第二、为了防止放大图给学生的误导，在出示课件后安排了让学生在直尺上找1厘米、1毫米的活动。让他们在头脑中建立1厘米、1毫米正确的表象。从这可以看出：“数”、“形”互化的过程,既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要而巧妙。 四、数形结合能将智能教育和情感教育有机结合在一起“数”的思考、“形”的创设，既能有效地提高学生的智力水平，又能融情于景，恰到好处地进行情感教育。 如在“分数的初步认识”的教学中，老师设计了如下的练习题： 夏天，爷爷、奶奶、小美一起吃西瓜，奶奶把一个西瓜平均分成10块，小美吃了4块。然后逐步揭示以下各题：（1）小美吃了这个西瓜的几分之几？（2）如果把剩下的西瓜平均分给爷爷、奶奶吃，他们各吃这个西瓜的几分之几？（3）小美吃得多，还是奶奶吃得多？（4）如果你是小美，该让爷爷、奶奶吃得多，还是自己吃得多？（5）那么该怎样分才可以使爷爷、奶奶吃得多些，而他们又吃得同样多？这里，题材（1）是基本题；题（2）就发展了，要从整体中减去它的4/10，再把余下的6/10平均分成两份，求出一份是多少，如果列式计算是（1—4/10）÷2，学生是不可能算出来的；题（3）是比较4/10与3/10的大小，也没有学过，现在借助生活经验，将“数”与“形”结合起来，运用形象思维，学生对（2）（3）两题作出正确的回答，而且思维活跃，兴趣盎然。教学至此，应该说知识与能力的教学目标已经完成，但是教师进一步提出问题（4），使学生受到应该热爱长辈、孝敬老人的教育。题（5）既是题（2）情节的必然发展，在智力发展的要求上又比较高，学生思维有些困难，但通过小组讨论、独立思考、比比划划，最终得到了“小美吃这个西瓜的2/10，爷爷、奶奶就各吃了这个西瓜的4/10”的正确答案，从中体验成功的喜悦。 总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。最关键一点，能使抽象枯燥的数学知识，形象化、具体化，使得数学教学充满乐趣。 浅谈数形结合思想方法的渗透 陈仓区实验小学 上官海霞 【摘要】数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想，是解决许多数学问题的有效思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。 【关键词】小学数学；数形结合；渗透 数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想，是解决许多数学问题的有效思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微”。那么如何在教学中渗透数形结合的思想。下面谈谈自己的看法： 一、教师要深入研究教材，有效渗透数形结合 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法①？在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、对比、分析、抽象、概括的过程中看到数学知识蕴涵的思想。如一年级下册“两位数加减一位数和整十数“35-2和35-20内容时，教师可提出问题，这两题怎么计算？让学生说出算法，再根据学生的回答分别写出支形图，并写出想的过程，然后进一步追问：“有没有不同的算法？”激发学生思考，开拓学生的学习思维。最后进一步问：计算35-2，能不能先用十位上的3减2等于1，结果35-2等于15对吗？让学生思考讨论，产生思维的碰撞，让学生的思维碰撞出智慧的火花。接下来让学生用摆小棒验证，教师可充分利摆小棒，使学生明白：因为35中的3表示3个十，5表示5个1，计数单位不同，所以不能用十位上的3减2，可以用5个1减2个1等于3个1，它们的计数单位都是1，再和3个十合并起来等33。通过摆小棒有效地渗透数形结合，使问题简明直观。教师要深入研究教材，弄清编排的意图，吃透教材，才能用好教材，有效渗透数形结合思想，彰显了数学学习的价值，通过摆小棒这个活动让学生感受到简单推理的过程，获得一些简单推理的经验就可以了。在教师的引导下，让学生明白这两题是把相同数位相加减的算理，这是教材编排的意图，也是本节课的重点。学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”。渗透数学思想，路漫漫兮，任重而道远，作为孩子们的导师，我们应该充分根据孩子们的发展规律，适当地利用教材，在教学过程中巧妙地渗透思想，培养学生解决问题的能力。 二、在课堂教学的主要环节中，利用数形结合，有助于学习难点化解 数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的学习方法。在教学中那些学生觉得难以理解的或是易出现错误或混淆的内容，教师可充分利用“形”，把抽象的问题变得直观、形象，丰富学生的表象，引发联想，引导学生探索规律，得出结论。如我在省骨干教师培训中听了吴荔丹教师的“植树问题”，吴老师在本课教学中把一一对应数学思想方法作为支点，借助生活中的实例康师傅3+2饼干，手指、路灯、树，课件演示，从而引出间隔与间隔数，为新课学习作铺垫，再出示例题：为了美化环境，学校准备在一条长20米的小路一侧种小树，每隔5米种一棵，一共需要多少棵树苗？教师应用学生已有的经验来画示意图，模拟种树，再将学生画的示意图展示交流，根据示意图，结合一一对应思想，突出了数形结合的思想，并让学生感受生活中洋溢着数学知识，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使概念更直观更形象，有利于学生的理解和掌握。学生根据示意图，很快得出解题方法这种加强了数与形之间的联系，利用数形结合，线段图直观有助于学生的学习，化解了难点，从而得出模型：两端都种：棵数=间隔数+1，只种一端：棵数=间隔，两端都不种：棵数=间隔数-1，最后在设计练习把数字变大，让学生发现用画图麻烦，从而考试用列算式来解决，也就是让学生应用建构的模型，还得让学生思考，什么情况下加1、减1或不加1也减1，说说理由，让孩子产生认知冲突。有的学生就说了“我不用画那么多，可以先把数字变小，画图，根据图形便知道是属于哪种种法，然后可用列式解决。这节课学生不仅学会运用数形结合，也懂得化难为易，最后应用模型解决问题的能力，也培养了学生的逻辑思维能力。 三、创设情境，培养学习兴趣的同时渗透数形结合思想 数学是一门抽象的知识，在学生看来是桔燥乏味的，抽象的，只有让学生对数学产生兴趣、产生求知的欲望，课堂数学才能达到良好的效果。如果课堂上能根据教材特点讲一些生动的故事，介绍数学的巧妙所在，让学生在较短的时间内思维活跃起来，达到“形”之有效，如教学“圆柱的认识”时，我收集生活中圆柱形的物体，如：蜡烛、灯笼、茶叶罐等，让学生观察，研究它们的特征，弄清概念的含义，再让他们举出生活中或周围具有这样特征的例子。课堂气氛活跃，每个同学都跃跃欲试，既充分激发了学生的学习兴趣，同时也让同学们知道现实生活中处处有数学，数与形是无法分割的。又如学习“平移、旋转”时，学生感觉抽象，难理解，教师可借助媒体课件演示，然后让学生动手画一画，再数形结合进行分析、概括、推理、判断，使学生的认识上升到一种理性的高度，进而掌握平移、旋转的特征，而且还培养了学生的美感、想象力和创新能力。 四、在讲评练习时，利用习题资源渗透数形结合思想，使之成为学生学习数学，解决数学的工具，同时养成数学思考的习惯。 如六年级考卷有道题：甲乙两人分别从AB两同时相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行100米，5分钟后两相距150米，A、B两地相距多少米？（分析各种情况解答）我在讲评时，抓住这道题的特点，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，引发思考、拓宽思路、提高学生分析和解决问题的能力。分析第一种情况：两人还没相遇，剩150米还没行完，另一种情况：两人相遇后又各自继续行驶，150米是甲乙两人相遇后各自分别行驶的路程。学生根据线段很快说出数量关系式并列式解答，将复杂的文字叙述转化为图形进行分析，降低了难度，也渗透了数形结合思想，学生学得有趣，也乐于学，通过数形结合，较快达到解题方法，达到优化解题途径的目的。 五、合理应用，深化数学思想 数学思想方法只有在反复运用中，才能得到巩固与深化，在教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，也有利于加深学生对知识的识记和理解。现实生活中的数与形是紧密联系的，相辅相成的，抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生的迁移思维能力、分析问题能力及解决问题的能力，对学生今后的数学学习和知识的应用将有深远的影响。 数学学习有两条线：一条明线数学基础知识，一条暗线数学思想方法。小学数学教材编排是以数学知识的发生、发展、运用为线，知识内容是显而易见的，但对于数学知识中所蕴含的数形结合思想教材并未明确指出，学生也不易察觉，需要教师潜心钻研并挖掘其中的思想内涵，这样才能在教学数学知识的同时予以渗透。此外，数形结合思想又不像数学知识，解题方法那种具有某种形式，只是体现为一种意识或观念，它不可能是一朝一夕、一招一式可以形成的，它是一个渐进的完成过程。它需要日积月累，长期渗透才能逐渐为学生所掌握。这又要求教师应做教学的有心人，从学生发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划、有系统，适时适度以渗透，使数形结合思想能始终贯穿在传授数学知识的过程中，成为一种有意识的教学活动。只有这样，数形结合思想方法的教学才能落到实处，学生才能逐步形成数形结合思想，并将其作为学习数学，运用数学和创造数学的有力工具。 数形结合在小学数学中的运用 陈仓区实验小学 上官海霞 数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。 赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,而要教会学生思考,实质是要教会学生掌握数学的思想方法。常用的数学思想方法有很多,而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点,是解决许多数学问题的有效思想。将抽象的数量关系形象化，具有直观性强，易理解、易接受的特点。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。 一、 数形结合的功能 1、有利于记忆 由于数学语言比较抽象，而图形语言则比较形象。利用图形语言进行记忆速度快，记得牢。笛卡尔曾说：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”同时，由于图象是“形象”的，语言是“抽象”的，因此对图形的记忆往往保持得比较牢固。 2、有助于思考 用图进行思维可以说是数学家的思维特色。往往一个简单的图象就能表达复杂的思想，因此图象语言有助于数学思维的表达。在数学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拔，学生往往思路大开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。 二、培养学生数形结合思想方法的措施 1、强化意识，体会作用 我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思想方法在解题中的重要性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，提高主动运用的意识，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具，从而提高学生数学修养与解题能力。 例如，学生学完长方形和正方形的周长后，有一题是这样的：用4个边长为2厘米的正方形拼成一个长方形或正方形，周长最大是多少？最小是多少(周长为整厘米数) ? 一开始学生看不懂，问我“老师，什么意思？”我说：“看不懂的话，照题目说的拼拼看，可以同桌合作。先想有几种拼法?再想拼好后长和宽各是多少？”在我的启发下，学生很快拼出了两种: 2厘米 4厘米 8厘米 4厘米
第一种：（8+2）×2=20厘米 第二种：4×4=16厘米 在这样的探究过程中，教师把“数学结合思想方法”有意识的渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，充分利用直观图形，把抽象内容视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。 2、扩大范围， 广泛应用 要培养学生数形结合思想方法，首先教师要切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素,都要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。“数形结合思想方法”包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在小学数学“数与代数”领域教学中，用的最多的是前者，我们可以把数学结合思想方法渗透在教学中的每一内容。以数与形相结合的原则进行教学。 （1）数的认识方面，例如在教学《1000以内数的认识》这节课教学中利用小立方体有效的帮助学生构建知识，以及初步感知十进制的计数方法。数数的难点就是接近整百的数，学生无法感受抽象的数数之间满10的变化，那么我们就将数数的抽象思考方式放大，将思维暴露出来，让学生通过观察小方块的变化，一对一的数数，在数到9变成10时，通过演示让学生理解10的由来同时强化十进制关系。同时通过 “形”来感知数的多少，既形象又深刻，培养了学生良好的数感。 （2）数的运算方面，借助“形”来帮助学生理解非常重要，除了我们常用的可以利用小棒等实物或图形来理解算理外，我们还可以丰富其内容，如：被减数中间有0的减法，可以利用计数器有效的突破难点。 （3）问题解决方面，借助数形结合能化抽象为形象，帮助学生建立直观模型，让数量关系更形象、更清晰。例如：公鸡有50只，比母鸡少15只。母鸡有几只？ 从线段图中很直观地看出母鸡的只数由两部分组成：与公鸡同样多的部分和多出来的部分，列式50+15=65（只）整个过程数形结合，在直观图示的导引下，使问题化难为易，化抽象为具体。 （4）常见的量方面，例如在教学《24时记时法》的教学中可以利用钟表上的刻度，1个大格代表1小时，24小时就是钟面上的时针走了2圈，同时形象的理解了0时和24时在同一点上，让具体的“形”与抽象的数相辅相成。 （5）式与方程方面，例如，在认识方程的教学过程中，可以利用天平秤中的等量帮助学生理解方程中的等量关系。 （6）几何方面，例如，一个长方体的表面积是14平方厘米，并能把这个长方体分割成3个完全相同的正方体，求每个正方体的表面积是多少平方厘米？通过画图可以把抽象的问题形象化。 以上例子仅是代表而已，只要我们留意，数形结合思想方法存在“数与代数”领域的每一个角落。 三、图形结合的方法 数形结合的思想方法是数学学科里最常用的一种方法，它包含了转化、配方、分类讨论、方程思想等数学思想方法，可见数形结合思想方法是数学中极具综合性的思想方法。在平常的教学活动中让学生学到数形结合的方法。教师可以采用多种方式精心组织学生训练，让学生置身于具体的教学过程，才能在教师的引导下逐步领悟，理解和掌握。可以采用以下方式： 1、运用或联想实物。 2、画图。画图的形式很多，包括画线段图、画图形、画示意图、画面积图、画点子图、集合图等等。 3、利用数轴。数轴是体现数形结合思想的一个重要方法。利用数轴，找到实数与数轴上的点的对应关系，让数与数轴这个“形”，紧密融合在一起。例如，教学《小数大小比较》时，由于学生在学习本节课的内容之前只是初步的认识了小数，还没有深入的学习小数的意义，因此学生在总结比较的方法时用抽象的数学语言比较困难。当文字的表述有困难时，利用数轴能很好的解决这一问题。因为对于每一个小数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个小数的大小比较，是通过这两个小数在数轴上的对应点的位置关系进行的。借助数轴让学生理解小数的大小，知道在数轴上越往后这个数越大，越往前这个数就越小。这节课还设计了这样一道练习： 0.4 > ( ) > ( ) > ( ) > ( )>0.3 在数轴上找出小于0.4大于0.3的小数以及能找出几个，这个练习借助数轴，让抽象的数学变得具体、形象。 4、几何模型。例如，教学“1－1/2－1/4－1/8-1/16＝”，对于小学生来说由于逻辑推理有一定的难度，一批中下学生不容易明白，如果采用几何模型进行教学，学生都轻松的掌握了。将上面的算式构造成下面的几何模型图，把一个大正方形看成单位“1” ，一次又一次地进行平均分，从图上很容易看出1－1/2－1/4－1/8-1/16＝。运用数形结合思想方法可以把代数与几何沟通了，使形直观地反映数内在的联系，拓宽思路，把复杂问题简单化，从而顺利且快速的解决问题，使数学知识变的更有生命力，让人回味无穷。我们提倡多种方式来渗透数形结合思想，要培养学生胸中有图见数想图，以开拓学生的思维视野。 在数形结合的教学过程中，应该慎重考虑“先数后形”还是“先形后数” 两者呈现的结果是不一样的，要把握好。数形结合思想有助于学生思维更形象，数形结合思想的方法不是万能妙药，提高学生的抽象逻辑思维能力也是非常重要的，两者之间应平衡。 浅谈“数形结合”在小学数学教学中的应用陈仓区实验小学 上官海霞 【摘要】：数学作为一门教育学科，研究数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示空间形式，使数量关系的精确把握与空间形式的直观形象巧妙相结合，从中寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。作为教师可以运用数学学科数、形之间的关系，开展数形结合教学方法，引导学生构建一定的数学知识结构体系，深化小学数学课堂教学质量。 【关键词】： 数形结合 低年级数学数学课堂 数形结合作为一种教学方法，在数学教学开展中有着很强的作用和价值意义。数指的是：小学数学的概念、定义、规律等等；“形”指的是数学模型、教学用的学具等有形的事物。数形结合指的是借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系，同时运用数量关系来表示图形之间的转化。在此，笔者结合自己多年的教学经验谈一下数形结合在小学数学教学中的应用。 一、化抽象的数学概念为直观，帮助学生形成概念 建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。小学生在初级阶段对于一定的图形、表象等一些具体的、直观的事物有着较强的认知性。同时，对于任何有感知材料的事物都比较好奇。运用直接的材料能够有效的引导学生的观察和分析能力，进行自主的探究活动。笔者鉴于此，在实际教学中运用图形演示，来帮助学生自主的形成数学概念，以此来深化学生对数学知识的学习、理解和运用。 例如：在教学《乘法的引入》一课时，为使学生懂得乘法是加法的简便运算的道理，我采用与课本中类似的例子引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想，采取学生易于接受的直观、形象、生动的特点展现出乘法的初始状态；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。在教学中，我先运用PPT课件呈现五个盆子，然后分别往这五个盆子里装上三个桃子，此时，我设置疑问：“这些盆子一共装有多少个桃子？”学生纷纷用同数相加的方法列出版式：3+3+3+3+3=15（个）。接着，我一边出示课件一边提出：“如果每个盆子还是装三个桃子，有20个这样的盆子，甚至是100个这样的盆子，你们怎么办呢？”学生顿时沉默，然后发出感叹：“哦......！算式也太长了吧，这要加到什么时候呀！”我见时机已到，对学生说：“老师只要用一个简单的算式就行了，你们想不想知道计算方法？”学生异口同声地说：“想”。此时，建立乘法概念水到渠成！这样，数形结合不仅使学生懂得了乘法是同数相加的简便运算，而且轻易地理解了乘法的意义。 这样通过数形进行演示，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的图形入手，让学生先抽象成连加算式，再抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。可以更直接的、更清晰的让学生明确并灵活掌握“乘法”的概念。 二、把算式形象化,帮助学生领悟算理 教学实践证明数形结合能够很好的让学生掌握和运用数学知识，推动学生全面发展，“授之以鱼不如授之以渔”，重要的是让学生掌握怎样运用数形结合来解决问题。小学低年级数学内容中，计算问题是教学的重点内容之一，在教学中，许多老师往往忽视了对学生算理理解的引导，更多是注重算法多样化。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生如果不明白道理又如何能更好的掌握计算方法呢？教师应千方百计地指导学生理解算理，进而掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。 如在教学“分数加分数”时，我先创设情境：两只猴吃西瓜比赛，大猴吃了这个西瓜的1/6,小猴吃了这个西瓜的2/6,它俩一共吃了这个西瓜的几分之几?在引出算式1/8+1/8后，为了帮助学生对算式的理解，我先让学生独立思考后在事先准备好的图上表示出1/6+2/6这个算式。然后同桌或上下桌同学相互交流，适时让学生展示自己画的图形，交流各自的想法。从而促进学困生对算式的理解，进而修改自己画的图形。最后展示、互相点评。 像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解算理。 三、渗透“数形结合”思想,提高学生的数形结合能力 据有关科研成果显示，左半脑功能偏重于抽象的诸如逻辑推理、数的运算、归纳演绎等逻辑思维；右半脑功能则偏重于诸如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等形象思维。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。 1、应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力 在数学素材中蕴藏着丰富的直觉思维。这使得人们能运用已有的知识，对所求解数学问题，在整体上作迅速识别、判断，进而作出大胆的质疑，合理的假设、猜想，并作出试探性的结论。 2、“数形结合”可促进对数学知识的记忆 “记忆是智慧的仓库”。只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。 3、应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力 发散思维是从同常规，寻求变异，对给出的材料、信息从不同角度，向不同方向，用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式。在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。 4． 应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力 素质教育已成为教育发展的主流。只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的向前发展。在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，让学生去研究，去探讨，去发现。让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。 四、运用”数形结合”，解决大量实际问题 运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。 比如六年级上册“鸭龟同笼”一课：“鸭和龟一共有9只，腿有28条。求鸭和龟各有多少只？”，本课的解决问题教学策略教材上采用列表尝试法。如果采用数形结合的画图法解，可以轻易地从画图法引出数量关系，列式解答。一共有几个头就画几个圆（表示动物的头），然后每个圆下面加两条线（表示鸭有两条腿），剩余几条腿就再添在小动物身上，每个添2条（原来的鸭就变成了龟）。这样从图上可知龟有4只，鸭有5只。引导学生理解数量关系：首先假设9只全是鸭，每只鸭身上长2条腿，共9×2＝18（条）腿，还剩余28-18＝10（条）腿，每加2条腿就增加一只龟，直到10条腿长完为止。这样就得到龟子有10÷(4-2)＝5（只），鸭有9-4=5（只）。由此不难看出：“数”“形”结合的过程，既是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程，更是问题解决的过程。将抽象的数学语言与直观的图形有机地关联起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。数形结合就像学生建构知识过程中的一个拐杖，有了这根拐杖，就能让学生走得更稳、更好，更有利于学生学习兴趣的培养、数学思维的发展、知识应用能力的增强，使教学收到事半功倍之效。 因此教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这是我们数学教学着力追求的目标。
浅析小学数学数形结合的应用 陈仓区实验小学 翟雅清 一、数形结合思想方法简述 数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。另外，数形结合思想在关于几何图形的问题中，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。 在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。 应用数形结合解题，从抽象到直观，再由直观到抽象，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。对大脑的科研成果表明，人的大脑两个半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨、稳定封闭，如数的运算、逻辑推理、归纳演绎等；右半脑功能侧偏重于形象思维，讲究直觉想象、自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，既培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。 通过数形结合，有助于学生对数学知识的记忆。数学是十分抽象的概念、公式、定理、规律等，数形结合使抽象的数学尽可能形象化，对学生输入的数学信息的映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。如新课标人教版三年级上册比较分子相同分母不同的分数大小时，通过十分直观的图形，帮助学生理解记忆，掌握“平均分的份数越多，每一份越少”这一很抽象的数学逻辑，使学生印象深刻。 应用数形结合，还可以训练学生数学直觉思维能力。在数学里，存在着大量的概念、定理、公式、以及典型题例等。当学生解答问题时，通过仔细阅读条件与问题，往往通过第一直觉进行判断，这是一个什么方面的问题，需要用什么知识点进行解答，这就是所谓的直觉思维。在数学教学中，教师通过数形结合训练学生的直觉思维，让学生养成整体观察，从整体上对数学对象（条件、问题）及其结构（数量关系）迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想、合理的假设，并作出试探性的结论。如教学行程问题中的相遇与追及问题时，教学中通过画线段图，帮助学生理解、掌握相遇问题与追及问题的数量关系，联系与区别，从而使学生在解决这类问题时，即使不再画图，也能做到直观地判断出解决的问题是相遇问题，还是追及问题，正确的应用相应的数量关系进行解答。 应用数形结合的思想，培养学生的发散思维能力。发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在数学教学中，常常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知条件与问题之间的矛盾联系，来激发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。如教学相遇问题时，运用线段图的不同呈现方式，使学生理解两种解法。 应用数形结合思想，还有可有效地培养学生的创造性思维能力。创造性思维能力是思维的最高境界。当前，对学生进行综合素质和能力的培养，是培养创造性人才的需要。只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的不断发展。在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，运用数形结合的思想，引导学生去研、去探讨、去发现，让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析研究，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选中解决问题的方法。如学习了重叠问题后，学生对两两重叠较易理解掌握，能正确解题，但三三重叠学生理解起来就很困难：两两重叠部分要减去，为什么三三重叠部分要加上呢？在这里，教师用单纯的语言文字是不能说清楚的，只有通过让学生画图，理解三三重叠部分在前面的加减中一次也没有计算，还需要加上去。 二、数形结合思想方法在教材中的渗透 1、数形结合帮助学生建立起数学基本概念，形成整个数学知识体系。数学是思维的阶梯。纵观整个小学数学教材，从一年级到六年级，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。 在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。在以后年级的学习中，随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。 在二年级上册学习乘法与除法的意义时，通过数与物（形的）对应结合，帮助学生理解掌握乘法与除法的意义，并抽象地运用于整个数学学习中。在三年级上册分数的初步认识中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解“平均分”，几分之一，几分之几等数学概念，掌握运用分数大小的比较，分数的意义，分数的加减等，使数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。在四年级下册小数的意义的学习中，小数是一个十分抽象的概念，它与分数相比更加抽象。我们同样是通过数与形的结合，帮助学生理解掌握小数的意义、小数的大小、小数的性质。通过1米=10分米，让学生理解1分米=0.1米，并类推出1厘米=0.01米，1毫米=0.001米；通过数与形完美的结合——数轴，让学生理解小数的组成、小数大小的比较、小数与整数的关系等。总之，一句话，数形结合贯穿着整个数学领域，在帮助学生建立初步的数学概念，培养学生基本数学思维能力中起着十分重要，而且不可替代的作用。 2、数形结合贯穿着整个数学知识的应用（解决问题）的教学。 在一年级下册刚接触比多比少应用题教学时，通过数与物（形）的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分）。有的学生在刚学习比多比少应用题时，未能很好的建立起数与形的有机结合，未充分理解掌握比多比少的基本数量关系，而是机械地记忆“多”字用加法，“少”字用减法。这样的学生我们在教学中发现的还不在少数。 在二年级上册进行倍数应用题的学习时，教材首先是通过数与物（形）的结合，帮助学习初步建立起倍数的意义，即求一个数的几倍，就是求几个这样的数是多少。在学生初步建立起倍数的概念（意义）的基础上，逐步过渡到数与形结合，即画线段图，帮助学习理解掌握倍数的意义。在这里，教材从最初的最直观的数物（形）结合，逐步过渡到由图形代替物体——数形结合，初步建立起数学语言——数与形，使学生逐步从最直接的感知发展到较为抽象的数学知识，初步建立起今后数学学习的基本途径与方法，与数学思想——数形结合。 在相遇问题、追及问题、和差问题、和倍问题、工程问题、分数应用题、比例应用题、列方程解应用题等许多解决问题的教学中，无不充分地运用数形结合，把抽象的数量关系，通过画线段图、集合图、长方形面积图、列表格等方式，数形结合，呈现为较为具体直观的数学符号，使较复杂的数量关系简单明了，有利于分析题中数量之间的关系，丰富学生表象，引发联想，启发思维，拓宽思路，化繁为简，化难为易，迅速找出解决问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。 在解决鸡兔同笼问题，即采用假设法解题时，运用数形结合，可以使极为抽象的假设法变得直观形象。如：有一只笼子，笼子中有鸡也有兔，鸡和兔共有5只，腿有14条。你们知道鸡有几只，兔有几只吗？题中有两个变量：鸡和兔，鸡的只数增多，兔的只数就要减少，反之鸡少了兔就多了，但它们的总的只数和腿的条数是不变的。教学中，让学生理解鸡与兔是两个变量十分困难，教师单纯用语言是无法让学生很好的理解的。采用数形结合，让学生通过想想——画画——再想想——再画画，帮助学生理解这鸡兔这两个变量，从而解决问题。 3、数形结合帮助小学生建立起初步的几何知识体系，发展空间观念，为今后的数学学习打下坚实的基础。在一年级下册图形的组拼中，通过数图形，如，让学生不断地把玩方积木，用多少不等或相等的积木不断堆砌不同的形状，体验数与形的结合，感知空间图形，进而抽象出一排有几个，有几排，有几层等空间观念，为长方形的面积公式推导、长方体的体积公式推导等奠定基础。在三年级下册长方形面积公式推导中，通过让学生用1平方厘米的小正方形摆放长方形面积，摆出长有几厘米就能摆几个，宽有几厘米就能摆几排，抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。在长方体体积公式推导中，也同样运用数与形的有机结合，通过学生用1立方厘米的小正方体摆放长方体的体积，得出长是几厘米就是一排摆几个，宽有几厘米就能摆几排，高有几厘米就是能摆放几层，进而逐步抽象概括出长方体的体积=长×宽×高。 4、数形结合帮助学生建立起初步的分类与集合的思想。在四年级下册三角形按角分类中，运用集合图，数形结合，让学生充分理解锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这三类三角形之间的关系。同样，在四年级上册四边形的分类中，也是运用数形结合的集合图，帮助学生理解各种四边形之间的联系与区别。 5、运用数形结合，帮助学生理解较抽象的数学、数量关系，培养学生逻辑思维能力。在现行人教版课标本数学教材中，引入了大量的以前认为是奥数的，但在现实生活中却经常应用的数学内容，如三年级下册重叠问题（P108例1）、四年级上册策略问题（P112例1、P113例2、P115例3）、四年级下册植树问题（P117例1、P118例2）、二年级上册（P99例1）与三年级上册排列组合（P112例1、P113例2、P114例3）、一年级下册、二年级下册、五年级上下册找规律等。 在教学中，如果不采用数形结合，把抽象的数学概念形象直观化，学生根本不能理解掌握运用。如三年级下册重叠问题（P108例1：三（1）班参加语文、数学课外小组学生名单。语文组：杨明、李芳、刘红、陈东、王爱华、张伟、丁旭、赵军；数学组：杨明、李芳、刘红、王志明、于丽、周晓、陶伟、卢强、朱小东。参加课外小组的学生有多少人），教学中，引导学生数出参加语文组的有8人，参加数学组有有9人，但这两个小组没有8+9=17人，这是为什么呢？引导学生通过画出韦恩集合图，让学生充分明白：有3个重复的，8+9多计算了一次，需要减去，两个小组实际只有8+9－3=14（人）。在植树问题中（P117例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？），只有通过画图，让学生充分理解植树棵数与间隔数的关系，才能帮助学生理解两端要植：棵数=间隔数+1，两端不植：棵数=间隔数－1，一端植：棵数=间隔数。二年级上册（P99例1）与三年级上册（P112例1、P113例2、P114例3）排列组合中，如果用高中数学中什么是排列、什么是组合来教学生，学生只能是“坐飞机”，云里雾里，不知所云，而采用数形结合——连线的方法，既做到不重不漏，又不把排列组合的知识强加给学生，还让学生运用起来得心应手。在策略问题中，运用数形结合，画图形操作，让繁琐的语言叙述直观化，简单明了，化难为易。在找规律教学中，通过画图操作，逐步发现规律，并运用规律解决问题。以上等等，都是通过数与形的有机结合，使以前认为普通学生学习起来较难理解与掌握的奥数知识，变得形象直观，学生人人都能掌握运用了。 三、教学示例 在小学数学中，数形结合的思想运用十分广泛，以下试举数例，通过由易到难，以期能达到举一反三的目的。 示例一：8个☆分成两堆，有几种分法？（一年级上册P55 8的认识 ） 教学建议：通过让学生摆放8个☆分成两堆的不同放法，理解8的分解与组成，并逐步理解掌握8的加法与减法。 8 8 7 1 6 2 5 3 4 4 7+1=8 6+2=8 5+3=8 4+4=8 8－7=1 8－6=2…… 示例二：在直线上表示下面各数，并比较大小。（四年级下册P644题） 0.12○0.28 0.25○0.16 0.4○0.04 0 0.1 0.2 0.3 0.4 教学建议：通过让学生在数轴上表示数，进一步理解小数的组成、大小，并掌握小数大小比较的方法。 示例四：第一行摆●●，第二行摆第一行的4倍。第二行摆几个？（二年级上册P76例3） 教学建议：在二年级学生刚接触倍数问题时，关键是要通过数物结合、数形结合，帮助学生通过直观的实物、图形（线段图），牢固建立倍数问题的数量关系。 首先通过实物演示，让学生理解倍数的意义：第二行是第一行的的4倍，就是求4个2是多少？ 小红：●● 小刚：●● ●● ●● ●● 接着，通过画线段图，帮助学生树立初步的数形结合思想，即用图形代表数，反应数与数的关系。 第一行：2个圆圈 第二行：是第一行的4倍，？个 示例四：8和12的公因数有哪些？最大的公因数是几？（五年级下册P27例4） 教学建议：首先，让学生采用常规写法写出8和12的因数，并找出公因数和最大公因数。 8的因数有：1、2、4、8 12的因数有：1、2、3、4、6、12 由于找起来较麻烦，引导学生把它们改为数形结合的集合图形式。 8的因数 12的因数 8和12的公因数 最后，引导学生观察：两个数的最大公因数就是它们其余公因数的乘积。再引导学生理解用短除法求两个数的最大公因数较为方便。（短除法略） 示例五：某班有学生56人，参加作文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科竞赛都没有参加的有25人，那么同时参加作文、数学竞赛的学生有多少人？（三年级下册较复杂的重叠问题） 教学建议：在重叠问题中，条件的叙述象绕口令一样，纠缠难懂，学生单纯靠抽象的语言的确难理解，利用集合图表达各部分的关系就容易得多了。 全班56人 同时参加作文、数学竞赛的人数 学生通过对图的分析、理解，很快就能列出多种解法。 解法一：56－25=31（人） 28+27－31=24（人） 解法二：28+27+25－56=24（人） 示例六：2002年世界杯足球赛C组有巴西队、土耳其队、中国队和哥斯达黎加队。每两个队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛？（三年级上册P114例3） 按题意画图为： 巴西 土耳其 中国 哥斯达黎加 在排列组合题中，排列与顺序无法，组合与顺序有关，但对于三年级学生用这样抽象的语言教学，不可能有一点效果。而采用直观的画图连线就十分清楚明白了。 示例七：五一班同学分三次给敬老院送温暖。第一次送了10千克大米、10千克面粉、10千克食油，合人民币140元；第二次送了20千克大米、15千克面粉、10千克食油，合人民币180元；第三次送了25千克大米、20千克面粉、10千克食油，合人民币205元。求大米、面粉和食油每千克各多少元？ 教学建议：本题条件太多，学生读后可能头都晕了。把条件用表格的形式排列出来，引导学生对照、比较、分析，就不难求解了。 大米 面粉 食油 人民币 第一次10 10 10 140 第二次20 15 10 180 第三次25 20 10 205
通过观察比较，第二次与第一次相比较：多送大米10千克，面粉5千克，多付钱180－140=40（元）；第三次与第二次相比较：多送大米5千克，面粉5千克，多付钱205－180=25（元）。又列表如下： 多送大米 多送面粉 多付钱 第二次与第一次比较10 5 40 第三次与第二次比较5 5 25
现在学生很容易看出：面粉的数量不变，多送了千克大米，就多付了钱40－25=15（元），可求出大米每千克：15÷5=3（元），进而求出面粉每千克：（40－3×10）÷5=2（元），食油每千克：（140－3×10－2×10）÷10=9（元）。 像这样数据较多的问题，采用列表的方法，易于揭示数量之间的关系，使思路清晰，采用最优化方法解题。 综上示例，不难看出，采用数形结合思想方法解题，关键是要让数形有机结合，把抽象的数学问题形象化、直观化，从而化繁为简，化难为易。 四、教学中应注意的问题 一、在教学中，必须要把数与形有机地结合起来，既不能脱离形来谈数，又不能丢开数谈形。形是数的直观呈现，数是形的逻辑表达。数与形是辩证统一的。只有这样，才能把学生的形象思维与逻辑思维有机地结合起来，做到数中有形，形中有数，培养学生的辩证思维能力。 二、在低段数学教学中，一定要把握好由形象直观——抽象概括的“度”。教学中一定要从直观的实物呈现，逐步抽象概括出数理、算理知识，并逐步过渡到由“实物呈现”转变为由“形代替实物”的“形呈现”，从而实现思维的质的飞跃。 三、在数学教学活动中，要通过数与形的结合，有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，培养学生多向思维的好习惯。 四、在数学教学中，还要重点培养学生理解掌握数形结合的表现形式，即通过对题目的阅读理解，用正确的方式画图表达出题意，从而实现把题目的抽象叙述变为直观呈现，化繁为简，化难为易的目的。 总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。
“数形结合”在小学数学教学中的应用 陈仓区实验小学 翟雅清 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，这就是数与形结合思想。数学中数与形关系非常密切，数与形结合是一种重要的教与学的方法。 用“数形结合”的方法进行教学，符合儿童的认知规律。小学儿童的抽象思维还不是很发达，学习抽象的数学知识时还必须有形象的支持；另一方面，形象化的实例又很容易引起学生兴趣，愉悦的情绪能引发学生的有意注意，激发学生学习的积极性。 用“数形结合”的方法进行学习，可以使左右脑协同作用，发挥全脑的功能。可以帮助学生理解数学知识的难点，培养学生灵活运用知识和逻辑思维能力。 一、运用直观图形，启发学生思维，激发学生求知欲。 数形结合创设与知识信息相关的各种情景可激发学生浓厚的学习兴趣。例如：五年级上《平行四边形的面积》一课，在教学时我设计了剪一剪、拼一拼等学习活动，通过直观的图形演示，逐步引导学生观察思考：长方形的面积与原平行四边形的面积有什么关系？长方形的长和宽与平行四边形底和高有什么关系？使学生得出结论：因为长方形的面积=长乘宽，所以平行四边形的面积=底乘高。课堂教学中充分有效地进行思维训练，是数学教学的核心，它不仅符合素质教育的要求，也符合知识的形成与发展以及人的认知过程，体现了数学教育的实质性价值。 二、运用直观的图形，帮助学生解析知识的难点。 1、例如：在教学《分数与除法的关系》时，将3块月饼平均分给4个人，每人分得多少块？列式为：3÷4=（块）如果运用分数与除法的关系，学生很容易列式并解答。但要理解块的真正分数的意义时图形给予了很大帮助，是将3块月饼摞在一起平均分成4份，每人分得一份即3块的，也就是3个拼在一起组成了一块的，巧妙地帮助学生理解了3块的与1块的是相等的。 2、四年级《植树问题》是数学中一个独立的单元，其内容和生活联系非常密切。这一课我们不仅是要教给学生知识，更重要的是要学生领悟研究复杂问题可以从简单问题入手。我创设了情境，向学生提供多次体验的机会，注重借助图形帮助学生理解建构知识。在教学过程中，我时刻对数形结合意识的渗透。教学中我先激励学生自己做设计，想办法设计植树方案，在学生自主探索的过程中很多学生采用了画线段图的方式，交流时利用多媒体再现图形线上植树的三种情况： ① 两端都种 ② 或 一端种 ③ 两端都不种 根据观察图形得出结论：两端都种 棵树=间隔数+1 一端种 棵树=间隔数 两端都不种 棵树=间隔数-1 以上题的设计和分析过程中我们不难看出“数”的思考，“形”的创设，既有效地提高了学生的智力水平，同时又使得数学学习的思想方法真正得以渗透。 三、直观的图形，有利于审清题意，揭示题中的数量关系，决定解题策略。 在数学的解决问题中，运用直观的图形进行教学，能收到事半功倍的教学效果。即把题目中的和数量关系转化成图形，将抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步转化成算式，以达到问题的解决。 如二年级教学“比一个数的几倍多几（少几）”的应用题时，在学生掌握“一个数的倍是多少”和“一个数是另一个数的几倍”的基础上，将线段图形与数量结合呈现，大大降低了解题的难度，学生可以一边借助图形一边思考寻找解题方式。 又如：五（1）班有25人，许多同学参加了课外小组。参加音乐小组的有15人，参加美术小组的有18人，既参加音乐小组又参加美术小组的有多少人？根据题意作示意图如下： 25人 从图中可以知道：两组人之和为15+18=33（人），
再如复杂的行程问题，有时相当错综复杂，数量关系相互交叉，单凭经验难以看透和确切理解题意。这时，如果用图解引路，理解数量关系，可以峰回路转，思路豁然开朗。 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休 ”。 数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，这样有利于培养学生解题的灵活性、多样性和变通性，对于开发学生的智力，发展学生的思维能力起着积极推动作用。
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