[ 信息发布:邵玲玲 | 发布时间:2016-05-30 | 浏览:184次 ]

8、追及问题

【含义】

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】

追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

解

（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）

（2）好马几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天）

列成综合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

答：好马20天能追上劣马。

例2

小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解

小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是

（500－200）÷［40×（500÷200）］

＝300÷100＝3（米）

答：小亮的速度是每秒3米。

例3

我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？

解

敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）

＝220÷20＝11（小时）

答：解放军在11小时后可以追上敌人。

例4

一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解

这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

这个时间为16×2÷（48－40）＝4（小时）

所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）

列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］

＝88×4

＝352（千米）

答：甲乙两站的距离是352千米。

9、植树问题

【含义】

按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】

线形植树棵数＝距离÷棵距＋1

环形植树棵数＝距离÷棵距

方形植树棵数＝距离÷棵距－4

三角形植树棵数＝距离÷棵距－3

面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

【解题思路和方法】

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1

一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

解

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：一共要栽69棵垂柳。

例2

一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？

解

400÷4＝100（棵）

答：一共能栽100棵白杨树。

例3

一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？

解

220×4÷8－4＝110－4＝106（个）

答：一共可以安装106个照明灯。

例4

给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？

解

96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）

答：至少需要400块地板砖。

例5

一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

解

（1）桥的一边有多少个电杆？500÷50＋1＝11（个）

（2）桥的两边有多少个电杆？11×2＝22（个）

（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）

答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。

10、年龄问题

【含义】

这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】

年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】

可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

例1

爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？

解

35÷5＝7（倍）

（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2

母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

解

（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37－7＝30（岁）

（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）

列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3

甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？

解

这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：

过去某一年 今年 将来某一年

甲 □岁 △岁 61岁

乙 4岁 □岁 △岁

表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。

因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，

因此二人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁）

甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁）

乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁）

答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。

11、行船问题

【含义】

行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】

（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

解

由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速为25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时）

答：这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2

甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

解

由题意得甲船速＋水速＝360÷10＝36

甲船速－水速＝360÷18＝20

可见（36－20）相当于水速的2倍，

所以，水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米）

又因为，乙船速－水速＝360÷15，

所以，乙船速为360÷15＋8＝32（千米）

乙船顺水速为32＋8＝40（千米）

所以，乙船顺水航行360千米需要

360÷40＝9（小时）

答：乙船返回原地需要9小时。

12、列车问题

【含义】

这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】

火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

÷（甲车速－乙车速）

火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

÷（甲车速＋乙车速）

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？

解

火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

（1）火车3分钟行多少米？900×3＝2700（米）

（2）这列火车长多少米？2700－2400＝300（米）

列成综合算式900×3－2400＝300（米）

答：这列火车长300米。

例2

一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？

解

火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（200米＋桥长），所以，桥长为

8×125－200＝800（米）

答：大桥的长度是800米。

例3

一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？

解

从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，所求的时间为

（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）

答：需要73秒。

例4

一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？

解

如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。

150÷（22＋3）＝6（秒）

答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

13、时钟问题

【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍，

二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】

变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1

从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解

钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以

分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）

答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2

四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？

解

钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。

（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）

（5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）

答：4点06分及4点38分时两针成直角。

例3

六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

解

六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。

（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）

答：6点33分的时候分针与时针重合。

14、盈亏问题

【含义】

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】

一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

解

按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：

（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个）

答：有小朋友12人，有47个苹果。

例2

修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？

解

题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知

原定完成任务的天数为

（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）

这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米）

答：这条路全长7800米。

例3

学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？

解

本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有

（1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）

（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）

答：有6辆车，有270人。